Giúp mình với! Câu 11 (1 điểm). Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $2x^2-x-5=0.$ Không giải phương,trình, hãy tính giá trị biểu thức $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}.$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Đề bài: Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $2x^2 - x - 5 = 0$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$.

________________________________________

Lời giải:

Xét phương trình: $2x^2 - x - 5 = 0$ có các hệ số $a = 2, b = -1, c = -5$.

Vì $a.c = 2 \cdot (-5) = -10 < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

1. Áp dụng hệ thức Vi-ét:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

• $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$

• $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{5}{2}$

2. Biến đổi và tính giá trị biểu thức:

Ta có biểu thức cần tính là:

$A=\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}$

Biến đổi tử thức thành dạng tổng và tích:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$

Thay vào biểu thức $A$:

$A=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}\cdot x_{2}}$

Thay các giá trị từ hệ thức Vi-ét vào:

$A=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-2\left(-\frac{5}{2}\right)}{-\frac{5}{2}}$

$A=\frac{\frac{1}{4}+5}{-\frac{5}{2}}=\frac{\frac{21}{4}}{-\frac{5}{2}}$

$A=\frac{21}{4}\cdot \left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{21}{10}=-2,1$

Kết luận: Giá trị của biểu thức là $-\frac{21}{10}$ (hoặc $-2,1$).

Timi · Answer

Để tính giá trị biểu thức $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$, ta có thể sử dụng tính chất của các nghiệm của phương trình bậc hai.

Biểu thức này có thể viết lại như sau:

$$
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}
$$

Theo định lý Viète, đối với phương trình $2x^2 - x - 5 = 0$:

- Tổng các nghiệm $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$
- Tích các nghiệm $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{5}{2}$

Ta cần tính $x_1^2 + x_2^2$. Theo công thức:

$$
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
$$

Thay giá trị tổng và tích vào:

$$
x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{5}{2}\right)
$$

Tính từng phần:

$$
\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
$$
$$
-2\left(-\frac{5}{2}\right) = 5
$$

Do đó:

$$
x_1^2 + x_2^2 = \frac{1}{4} + 5 = \frac{1}{4} + \frac{20}{4} = \frac{21}{4}
$$

Giờ ta có:

$$
\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{\frac{21}{4}}{-\frac{5}{2}} = \frac{21}{4} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{21 \cdot 2}{4 \cdot 5} = -\frac{42}{20} = -\frac{21}{10}
$$

Vậy giá trị biểu thức $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$ là:

$$
\boxed{-\frac{21}{10}}
$$

Huycindy · Answer

Phương trình $2x^2 - x - 5 = 0$ có $a.c = 2.(-5) = -10 < 0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
Áp dụng định lý Vi-ét, ta có:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{1}{2} \ x_1 x_2 = -\dfrac{5}{2} \end{cases}$
Ta có: $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$
$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2}$
Thay $x_1 + x_2 = \dfrac{1}{2}$ và $x_1 x_2 = -\dfrac{5}{2}$ vào biểu thức, ta được:
$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{\left( \dfrac{1}{2} ight)^2 - 2.\left( -\dfrac{5}{2} ight)}{-\dfrac{5}{2}}$
$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{\dfrac{1}{4} + 5}{-\dfrac{5}{2}}$
$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{\dfrac{21}{4}}{-\dfrac{5}{2}}$
$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = -\dfrac{21}{10}$
Vậy giá trị của biểu thức là $-\dfrac{21}{10}$