Giúp mình với! Câu 10 (1,0 điểm). Giả sử $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-3x+1=0.$ Không giải,phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A=\frac1{x_1-2}+\frac1{x_2-2}+3..$

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Xét phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có $a = 1, b = -3, c = 1$.

Vì $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \ x_1x_2 = 1 \end{cases}$

Biến đổi biểu thức $A$:

$A = \frac{1}{x_1 - 2} + \frac{1}{x_2 - 2} + 3$

$= \frac{(x_2 - 2) + (x_1 - 2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} + 3$

$= \frac{x_1 + x_2 - 4}{x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4} + 3$

$= \frac{3 - 4}{1 - 2 \cdot 3 + 4} + 3$

$= \frac{-1}{-1} + 3$

$= 1 + 3$

$= 4$

Vậy $A = 4$.

Timi · Answer

Để tính giá trị của biểu thức $ A = \frac{1}{x_1 - 2} + \frac{1}{x_2 - 2} + 3 $, trước hết chúng ta cần sử dụng một số tính chất của các nghiệm của phương trình bậc hai.

Theo định lý Viète, với phương trình $ x^2 - 3x + 1 = 0 $:

- Tổng của hai nghiệm $ x_1 + x_2 = 3 $
- Tích của hai nghiệm $ x_1 \cdot x_2 = 1 $

Bây giờ, ta cần tính giá trị $ A $. Đầu tiên, chúng ta sẽ tính phần đầu tiên của biểu thức $ A $:

$$
\frac{1}{x_1 - 2} + \frac{1}{x_2 - 2} = \frac{(x_2 - 2) + (x_1 - 2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} = \frac{x_1 + x_2 - 4}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)}
$$

Từ Viète, chúng ta có $ x_1 + x_2 = 3 $, do đó:

$$
x_1 + x_2 - 4 = 3 - 4 = -1
$$

Tiếp theo, chúng ta cần tính $ (x_1 - 2)(x_2 - 2) $:

$$
(x_1 - 2)(x_2 - 2) = x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4
$$
Sử dụng các giá trị từ Viète, ta có:

$$
= 1 - 2 \cdot 3 + 4 = 1 - 6 + 4 = -1
$$

Bây giờ, thay các giá trị này vào biểu thức:

$$
\frac{1}{x_1 - 2} + \frac{1}{x_2 - 2} = \frac{-1}{-1} = 1
$$

Cuối cùng, chúng ta tính giá trị của $ A $:

$$
A = 1 + 3 = 4
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ A $ là:

$$
\boxed{4}
$$

Huycindy · Answer

Xét phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ có $\Delta = (-3)^2 - 4 . 1 . 1 = 5 > 0$.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$.
Theo định lý Vi-ét ta có:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \ x_1 . x_2 = 1 \end{cases}$
Ta có:
$A = \dfrac{1}{x_1 - 2} + \dfrac{1}{x_2 - 2} + 3$
$A = \dfrac{x_2 - 2 + x_1 - 2}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} + 3$
$A = \dfrac{(x_1 + x_2) - 4}{x_1 . x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4} + 3$
$A = \dfrac{3 - 4}{1 - 2 . 3 + 4} + 3$
$A = \dfrac{-1}{-1} + 3$
$A = 1 + 3$
$A = 4$
Vậy $A = 4$.

LDL_OSK_『 D✟I✟A』_GOD_TDR_T✟G✟A_KOS_TTB Ebe hắc lon · Answer

Theo hệ thức Vi-ét, hai nghiệm $x_1, x_2$ của phương trình $x^2 - 3x + 1 = 0$ thỏa mãn:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 x_2 = 1$

Biến đổi biểu thức A ta được:

$A = \frac{x_2 - 2 + x_1 - 2}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)} + 3$

$A = \frac{(x_1 + x_2) - 4}{x_1 x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4} + 3$

Thay $x_1 + x_2 = 3$ và $x_1 x_2 = 1$ vào biểu thức A, ta được:

$A = \frac{3 - 4}{1 - 2 \cdot 3 + 4} + 3$

$A = \frac{-1}{-1} + 3$

$A = 1 + 3$

$A = 4$

Vậy $A = 4$.