Giúp mình với! b) Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định.,Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm được 2 sản phẩm. Vì vậy,,chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm. Hỏi,theo kế hoạch, mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm.

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Gọi x là số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch (sản phẩm, x > 0).

Thời gian dự định: $\frac{60}{x}$ giờ.

Năng suất thực tế: $x + 2$ sản phẩm/giờ.

Số sản phẩm thực tế: $60 + 3 = 63$ sản phẩm.

Thời gian thực tế: $\frac{63}{x + 2}$ giờ.

Theo đề bài ta có phương trình:

$\frac{60}{x} - \frac{63}{x + 2} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{60(x + 2) - 63x}{x(x + 2)} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{120 - 3x}{x^2 + 2x} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow 240 - 6x = x^2 + 2x$

$\Leftrightarrow x^2 + 8x - 240 = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + 20x - 12x - 240 = 0$

$\Leftrightarrow x(x + 20) - 12(x + 20) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 12)(x + 20) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 12 ext{ (thỏa mãn)}\x = -20 ext{ (loại)}\end{array} ight.$

Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người đó phải làm 12 sản phẩm.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt một số biến để dễ dàng tính toán.

Giả sử:
- Số sản phẩm công nhân phải hoàn thành là $ S = 60 $ sản phẩm.
- Số sản phẩm mà công nhân thực hiện theo kế hoạch trong một giờ là $ x $ sản phẩm.
- Thời gian dự kiến để hoàn thành là $ t $ giờ. Vậy có $ t = \frac{60}{x} $.

Theo đề bài, công nhân đã làm thêm được 2 sản phẩm mỗi giờ. Do đó, số sản phẩm mà công nhân hoàn thành mỗi giờ bây giờ là $ x + 2 $.

Thời gian mà công nhân thực tế cần để hoàn thành 63 sản phẩm (60 sản phẩm theo kế hoạch và 3 sản phẩm vượt mức) là:
$$
\text{Thời gian thực tế} = \frac{63}{x + 2}
$$

Theo thông tin đã cho, công nhân hoàn thành kế hoạch sớm hơn 30 phút, tức là:
$$
t - \frac{63}{x + 2} = \frac{1}{2} \text{ giờ}
$$

Thay $ t = \frac{60}{x} $ vào phương trình trên:
$$
\frac{60}{x} - \frac{63}{x + 2} = \frac{1}{2}
$$

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ tìm mẫu chung và thực hiện phép toán:
$$
\frac{60(x + 2) - 63x}{x(x + 2)} = \frac{1}{2}
$$
$$
\frac{60x + 120 - 63x}{x(x + 2)} = \frac{1}{2}
$$
$$
\frac{-3x + 120}{x(x + 2)} = \frac{1}{2}
$$

Tiến hành nhân chéo:
$$
-3x + 120 = \frac{1}{2} x(x + 2)
$$
$$
-3x + 120 = \frac{1}{2}(x^2 + 2x)
$$
Nhân cả hai vế với 2 để bỏ đi mẫu số:
$$
-6x + 240 = x^2 + 2x
$$
$$
x^2 + 8x - 240 = 0
$$

Giải phương trình bậc 2:
Áp dụng công thức nghiệm:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240)}}{2 \cdot 1}
$$
$$
x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 960}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{1024}}{2}
$$
$$
x = \frac{-8 \pm 32}{2}
$$

Tính các nghiệm:
1. $ x = \frac{24}{2} = 12 $
2. $ x = \frac{-40}{2} = -20 $ (loại bỏ vì không thể có sản phẩm âm)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ công nhân đó phải làm $ 12 $ sản phẩm.

**Đáp án**: Mỗi giờ công nhân đó phải làm 12 sản phẩm.

Huycindy · Answer

$b)$ Gọi số sản phẩm mỗi giờ người công nhân phải làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm,$x \in \mathbb{N}^*$, $x \leq 60$).
Thời gian dự định là $\dfrac{60}{x}$ giờ.
Mỗi giờ thực tế làm được là $x + 2$ sản phẩm.
Số sản phẩm thực tế làm được là $63$ sản phẩm.
Thời gian thực tế là $\dfrac{63}{x + 2}$ giờ.
Ta có phương trình:
$\dfrac{60}{x} - \dfrac{63}{x + 2} = \dfrac{1}{2}$
$120(x + 2) - 126x = x(x + 2)$
$120x + 240 - 126x = x^2 + 2x$
$x^2 + 8x - 240 = 0$
$\left[ \begin{aligned} x &= 12 \ x &= -20 \end{aligned} ight.$
Số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo kế hoạch là $12$ sản phẩm.

mdung · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Gọi năng suất dự định của người công nhân là $x$ (sản phẩm/giờ, $x > 0$).

Thời gian dự định hoàn thành công việc là: $\frac{60}{x}$ (giờ).

Năng suất thực tế của người công nhân là: $x + 2$ (sản phẩm/giờ).

Số sản phẩm thực tế làm được là: $60 + 3 = 63$ (sản phẩm).

Thời gian thực tế hoàn thành công việc là: $\frac{63}{x+2}$ (giờ).

Vì người công nhân hoàn thành sớm hơn dự định 30 phút ($0,5$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{60}{x}-\frac{63}{x+2}=0,5$

Giải phương trình:

$120(x+2)-126x=x(x+2)$

$120x+240-126x=x^{2}+2x$

$x^{2}+8x-240=0$

ta tìm được hai nghiệm:

$x_1 = 12$ (thỏa mãn điều kiện)

$x_2 = -20$ (loại)

Theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân đó phải làm 12 sản phẩm.

LALA SCHOOL · Answer

Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ.

Gọi số sản phẩm người công nhân phải làm trong mỗi giờ theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm/giờ, $x > 0$).

Thời gian dự định để hoàn thành 60 sản phẩm là:

$\frac{60}{x}$ (giờ)

Thực tế, mỗi giờ người công nhân làm được số sản phẩm là:

$x + 2$ (sản phẩm/giờ)

Số sản phẩm thực tế người công nhân đã làm được là:

$60 + 3 = 63$ (sản phẩm)

Thời gian thực tế người công nhân hoàn thành công việc là:

$\frac{63}{x + 2}$ (giờ)

Vì người công nhân hoàn thành sớm hơn dự định 30 phút nên ta có phương trình:

$\frac{60}{x} - \frac{63}{x + 2} = \frac{1}{2}$

Quy đồng và khử mẫu hai vế của phương trình, ta được:

$2 \cdot 60(x + 2) - 2 \cdot 63x = x(x + 2)$

$120x + 240 - 126x = x^2 + 2x$

$x^2 + 8x - 240 = 0$

$x^2 + 20x - 12x - 240 = 0$

$x(x + 20) - 12(x + 20) = 0$

$(x - 12)(x + 20) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 12 = 0$

$x = 12$ (thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2:

$x + 20 = 0$

$x = -20$ (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ người đó phải làm 12 sản phẩm.