Giúp mình với! Tự luận toán

**Bài 1:** Để tìm độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được, chúng ta sẽ sử dụng thông tin về độ cao tại các thời điểm khác nhau. Quả bóng được sút lên từ độ cao 1m và tại thời điểm \(t = 1\) giây, độ cao là 10m. Tại thời điểm \(t = 3.5\) giây, độ cao là 6.25m. Chúng ta sẽ lập phương trình của quỹ đạo của quả bóng, có dạng: \[ h(t) = at^2 + bt + c \] Trong đó: - \(c\) là độ cao ban đầu, tức \(c = 1\). - Tại \(t = 1\): \(h(1) = a(1^2) + b(1) + 1 = 10\) → \(a + b + 1 = 10\) → \(a + b = 9\) (1) - Tại \(t = 3.5\): \(h(3.5) = a(3.5^2) + b(3.5) + 1 = 6.25\) Tính \(3.5^2 = 12.25\), ta có: \[ 12.25a + 3.5b + 1 = 6.25 \] → \(12.25a + 3.5b = 5.25\) (2) Giải hệ phương trình (1) và (2): Từ (1) \(b = 9 - a\), thay vào (2): \[ 12.25a + 3.5(9 - a) = 5.25 \] \[ 12.25a + 31.5 - 3.5a = 5.25 \] \[ 8.75a + 31.5 = 5.25 \] \[ 8.75a = 5.25 - 31.5 \] \[ 8.75a = -26.25 \] \[ a = -3 \] Từ \(a = -3\), ta tính \(b\): \[ b = 9 - (-3) = 12 \] Vậy phương trình quỹ đạo là: \[ h(t) = -3t^2 + 12t + 1 \] Để tìm độ cao cao nhất, ta tìm thời điểm đạt cực đại bằng cách tính \(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-3)} = 2\) giây. Tính độ cao tại \(t = 2\): \[ h(2) = -3(2^2) + 12(2) + 1 = -12 + 24 + 1 = 13 \] Vậy độ cao cao nhất mà quả bóng đạt được là **13 mét**. --- **Bài 2:** a. Để lập phương trình tham số của đường thẳng \(d: x - 2y - 5 = 0\), ta chuyển đổi phương trình này sang dạng tham số. Đầu tiên, chúng ta có thể tìm hệ số góc \(k\) và tọa độ điểm: Từ phương trình \(x - 2y - 5 = 0\) ta có: \[ 2y = x - 5 \] \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \] Hệ số góc là \(\frac{1}{2}\) và cắt trục \(y\) tại \(\left(0, \frac{5}{2}\right)\). Ta lấy \(x = t\), với \(t\) là tham số, và \(y = \frac{1}{2}t + \frac{5}{2}\). Vậy phương trình tham số là: \[ \begin{cases} x = t \\ y = \frac{1}{2}t + \frac{5}{2} \end{cases} \] b. Để tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(d\) sao cho \(OM = 5\) (với \(O\) là gốc tọa độ), ta cần giải phương trình: \[ x^2 + y^2 = 5^2 = 25 \] Thay \(y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\) vào phương trình: \[ x^2 + \left(\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\right)^2 = 25 \] Giải phương trình trên sẽ tìm được tọa độ của \(M\). c. Tìm tọa độ điểm \(N\) thuộc \(d\) sao cho khoảng cách từ \(N\) đến trục hoành \(Ox\) là 3. Tọa độ của \(N\) sẽ là \((x, y)\), và từ điều kiện này ta có: \[ |y| = 3 \] Chúng ta thay \(y = 3\) và \(y = -3\) vào phương trình đường thẳng để tìm tọa độ tương ứng. Giải các phương trình sẽ cho bạn tọa độ của điểm \(M\) và điểm \(N\). Hy vọng giúp bạn giải quyết được bài tập!