Giúp mình với! : VÍ DỤ 5: Cho hàm số $f(x)=|8\cos^4x+a\cos^2x+b|,$ trong đó a , b là tham số thực. Gọi M,là giá trị lớn nhất của hàm số. Tính tổng $a+b$ khi M nhận giá trị nhỏ nhất.,$A.~a+b=-7.$ $B.~a+b=-9.$ $C.~a+b=0.$ $D.~a+b=-8.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Đặt $t = \cos^2 x$
$\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t \in [0; 1]$
Xét hàm số $g(t) = 8t^2 + at + b$ trên đoạn $[0; 1]$
$M = \overset{\phantom{[0;1]}}{\underset{[0;1]}{\max}} \vert{}g(t)\vert{}$
Ta có hệ thức:
$\begin{cases} g(0) = b \ g(1) = a + b + 8 \ g\left(\dfrac{1}{2}ight) = \dfrac{a}{2} + b + 2 \end{cases}$
Xét biểu thức triệt tiêu tham số $a, b$:
$g(0) + g(1) - 2g\left(\dfrac{1}{2}ight) = b + (a + b + 8) - 2\left(\dfrac{a}{2} + b + 2ight) = 4$
Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối:
$\vert{}g(0)\vert{} + \vert{}g(1)\vert{} + 2\left\vert{}g\left(\dfrac{1}{2}ight)ight\vert{} \geq \left\vert{}g(0) + g(1) - 2g\left(\dfrac{1}{2}ight)ight\vert{} = 4$
Mặt khác:
$\vert{}g(0)\vert{} \leq M$
$\vert{}g(1)\vert{} \leq M$
$\left\vert{}g\left(\dfrac{1}{2}ight)ight\vert{} \leq M$
$M + M + 2M \geq 4$
$4M \geq 4$
$M \geq 1$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\vert{}g(0)\vert{} = \vert{}g(1)\vert{} = \left\vert{}g\left(\dfrac{1}{2}ight)ight\vert{} = 1$
Tọa độ đỉnh của parabol $g(t)$ là $t_0 = \dfrac{-a}{16} = \dfrac{1}{2}$
$a = -8$
$\begin{cases} b = 1 \ a + b + 8 = 1 \ \dfrac{a}{2} + b + 2 = -1 \end{cases} \begin{cases} a = -8 \ b = 1 \end{cases} $(n)
$a + b = -7$
$\Rightarrow A$

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ f(x) = |8\cos^4 x + a\cos^2 x + b| $, trước tiên chúng ta sẽ đặt $ y = \cos^2 x $. Khi đó, $ f(x) $ trở thành hàm số bậc 4 theo biến $ y $:

$$
f(y) = |8y^2 + ay + b|
$$

Trong khoảng $ y \in [0, 1] $, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ 8y^2 + ay + b $. Để làm điều này, ta sẽ xét hàm bậc 2 $ g(y) = 8y^2 + ay + b $.

Hàm $ g(y) $ là một hàm bậc 2 mở lên vì hệ số của $ y^2 $ là dương (8). Giá trị cực tiểu của hàm này nằm ở đỉnh của parabol, được tính bằng:

$$
y_{min} = -\frac{a}{2 \cdot 8} = -\frac{a}{16}
$$

Chúng ta cần xác định $ y_{min} $ có nằm trong khoảng $ [0, 1] $ hay không. Điều này dẫn đến hai điều kiện:

1. $ -\frac{a}{16} \geq 0 \Rightarrow a \leq 0 $
2. $ -\frac{a}{16} \leq 1 \Rightarrow a \geq -16 $

Nếu $ a $ nằm trong khoảng $ [-16, 0] $, giá trị lớn nhất của hàm $ f(y) $ có thể là tại các đầu của khoảng $ y = 0 $ và $ y = 1 $.

Tính giá trị của $ g(0) $ và $ g(1) $:

$$
g(0) = b
$$
$$
g(1) = 8 + a + b
$$

Vậy giá trị lớn nhất $ M $ sẽ là:

$$
M = \max\{|b|, |8 + a + b|\}
$$

Để $ M $ nhỏ nhất, ta sẽ cần hai giá trị $ |b| $ và $ |8 + a + b| $ bằng nhau, tức là:

$$
|b| = |8 + a + b|
$$

Xét hai trường hợp:

1. $ b = 8 + a + b \Rightarrow 0 = 8 + a \Rightarrow a = -8 $
2. $ b = -(8 + a + b) \Rightarrow 2b = -8 - a \Rightarrow b = -4 - \frac{a}{2} $

Với $ a = -8 $, ta có $ b = -4 - \frac{-8}{2} = -4 + 4 = 0 $.

Vậy $ a + b = -8 + 0 = -8 $.

Cuối cùng, ta có $ a + b = -8 $.

Do đó, đáp án là:

$$
\boxed{-8}
$$

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Đặt t = cos^2x (0 <= t <= 1).

Khi đó

f(x) = |8t^2 + at + b|.

Đặt g(t) = 8t^2 + at + b.

Để M = max|g(t)| nhỏ nhất thì

g(0) = g(1) = -g(1/2).

Ta có

g(0) = b,

g(1) = 8 + a + b.

Suy ra

8 + a + b = b

=> a = -8.

Lại có

g(1/2) = 2 + a/2 + b = -b.

Thay a = -8:

2 - 4 + b = -b

=> 2b = 2

=> b = 1.

Vậy : a + b = -8 + 1 = -7.

Đáp số: A.