Giúp mình với! Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:,$a)~F=-x^2+6x-5$,$b)~G=-x^2-3x+2$,$c)~H=-9x^2+24x-10$,$d)~I=-2x^2+12x-17$,$e)~K=-5x^2-7x+3$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ $F = -x^2 + 6x - 5$
$F = -(x^2 - 6x + 9) + 4$
$F = -(x - 3)^2 + 4$
Do $-(x - 3)^2 \leq 0 \quad \forall x$
$F \leq 4 \quad \forall x$
Giá trị lớn nhất của $F$ là $4$ khi $x = 3$
$b)$ $G = -x^2 - 3x + 2$
$G = -\left(x^2 + 3x + \dfrac{9}{4}\right) + \dfrac{17}{4}$
$G = -\left(x + \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{17}{4}$
Do $-\left(x + \dfrac{3}{2}\right)^2 \leq 0 \quad \forall x$
$G \leq \dfrac{17}{4} \quad \forall x$
Giá trị lớn nhất của $G$ là $\dfrac{17}{4}$ khi $x = -\dfrac{3}{2}$
$c)$ $H = -9x^2 + 24x - 10$
$H = -(9x^2 - 24x + 16) + 6$
$H = -(3x - 4)^2 + 6$
Do $-(3x - 4)^2 \leq 0 \quad \forall x$
$H \leq 6 \quad \forall x$
Giá trị lớn nhất của $H$ là $6$ khi $x = \dfrac{4}{3}$
$d)$ $I = -2x^2 + 12x - 17$
$I = -2(x^2 - 6x + 9) + 1$
$I = -2(x - 3)^2 + 1$
Do $-2(x - 3)^2 \leq 0 \quad \forall x$
$I \leq 1 \quad \forall x$
Giá trị lớn nhất của $I$ là $1$ khi $x = 3$
$e)$ $K = -5x^2 - 7x + 3$
$K = -5\left(x^2 + \dfrac{7}{5}x + \dfrac{49}{100}\right) + \dfrac{109}{20}$
$K = -5\left(x + \dfrac{7}{10}\right)^2 + \dfrac{109}{20}$
Do $-5\left(x + \dfrac{7}{10}\right)^2 \leq 0 \quad \forall x$
$K \leq \dfrac{109}{20} \quad \forall x$
Giá trị lớn nhất của $K$ là $\dfrac{109}{20}$ khi $x = -\dfrac{7}{10}$

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức dạng bậc 2, chúng ta có thể sử dụng công thức tính đỉnh của parabol. Công thức tính hoành độ đỉnh của parabol $y = ax^2 + bx + c$ là:

$$ x_{max} = -\frac{b}{2a} $$

Sau đó, chúng ta thay giá trị này vào biểu thức để tìm giá trị lớn nhất.

### a) $F = -x^2 + 6x - 5$

- $a = -1$, $b = 6$
- Hoành độ đỉnh:

$$ x_{max} = -\frac{6}{2(-1)} = 3 $$

- Thay $x = 3$ vào $F$:

$$ F(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 $$

**Giá trị lớn nhất của $F$ là 4.**

### b) $G = -x^2 - 3x + 2$

- $a = -1$, $b = -3$
- Hoành độ đỉnh:

$$ x_{max} = -\frac{-3}{2(-1)} = \frac{3}{2} $$

- Thay $x = \frac{3}{2}$ vào $G$:

$$ G\left(\frac{3}{2}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = -\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 $$

$$ = -\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{19}{4} $$

**Giá trị lớn nhất của $G$ là $-\frac{19}{4}$.**

### c) $H = -9x^2 + 24x - 10$

- $a = -9$, $b = 24$
- Hoành độ đỉnh:

$$ x_{max} = -\frac{24}{2(-9)} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3} $$

- Thay $x = \frac{4}{3}$ vào $H$:

$$ H\left(\frac{4}{3}\right) = -9\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 24\left(\frac{4}{3}\right) - 10 $$

$$ = -9 \cdot \frac{16}{9} + 32 - 10 = -16 + 32 - 10 = 6 $$

**Giá trị lớn nhất của $H$ là 6.**

### d) $I = -2x^2 + 12x - 17$

- $a = -2$, $b = 12$
- Hoành độ đỉnh:

$$ x_{max} = -\frac{12}{2(-2)} = 3 $$

- Thay $x = 3$ vào $I$:

$$ I(3) = -2(3^2) + 12 \cdot 3 - 17 = -18 + 36 - 17 = 1 $$

**Giá trị lớn nhất của $I$ là 1.**

### e) $K = -5x^2 - 7x + 3$

- $a = -5$, $b = -7$
- Hoành độ đỉnh:

$$ x_{max} = -\frac{-7}{2(-5)} = \frac{7}{10} $$

- Thay $x = \frac{7}{10}$ vào $K$:

$$ K\left(\frac{7}{10}\right) = -5\left(\frac{7}{10}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{10}\right) + 3 $$

$$ = -5 \cdot \frac{49}{100} - \frac{49}{10} + 3 = -\frac{245}{100} - \frac{490}{100} + \frac{300}{100} $$

$$ = -\frac{245 + 490 - 300}{100} = -\frac{435}{100} = -4.35 $$

**Giá trị lớn nhất của $K$ là $-\frac{435}{100}$.**

### Tóm tắt
- a) $F$ có giá trị lớn nhất là 4.
- b) $G$ có giá trị lớn nhất là $-\frac{19}{4}$.
- c) $H$ có giá trị lớn nhất là 6.
- d) $I$ có giá trị lớn nhất là 1.
- e) $K$ có giá trị lớn nhất là $-\frac{435}{100}$.

cko mìn xin xuu hoặc coin · Answer

a)

$F = -x^2 + 6x - 5$

$F = -(x^2 - 6x + 5)$

$F = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 9 - 4)$

$F = -[(x - 3)^2 - 4]$

$F = -(x - 3)^2 + 4$

Vì $(x - 3)^2 \ge 0$ với mọi $x$

Suy ra $-(x - 3)^2 \le 0$ với mọi $x$

Do đó $F = -(x - 3)^2 + 4 \le 4$ với mọi $x$

Dấu "=" xảy ra khi:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Vậy giá trị lớn nhất của $F$ là 4 tại $x = 3$.

b)

$G = -x^2 - 3x + 2$

$G = -(x^2 + 3x - 2)$

$G = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} - 2)$

$G = -[(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{17}{4}]$

$G = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{17}{4}$

Vì $(x + \frac{3}{2})^2 \ge 0$ với mọi $x$

Suy ra $-(x + \frac{3}{2})^2 \le 0$ với mọi $x$

Do đó $G = -(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{17}{4} \le \frac{17}{4}$ với mọi $x$

Dấu "=" xảy ra khi:

$x + \frac{3}{2} = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của $G$ là $\frac{17}{4}$ tại $x = -\frac{3}{2}$.

c)

$H = -9x^2 + 24x - 10$

$H = -(9x^2 - 24x + 10)$

$H = -[(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 16 - 6]$

$H = -[(3x - 4)^2 - 6]$

$H = -(3x - 4)^2 + 6$

Vì $(3x - 4)^2 \ge 0$ với mọi $x$

Suy ra $-(3x - 4)^2 \le 0$ với mọi $x$

Do đó $H = -(3x - 4)^2 + 6 \le 6$ với mọi $x$

Dấu "=" xảy ra khi:

$3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất của $H$ là 6 tại $x = \frac{4}{3}$.

d)

$I = -2x^2 + 12x - 17$

$I = -2(x^2 - 6x) - 17$

$I = -2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 9 - 9) - 17$

$I = -2[(x - 3)^2 - 9] - 17$

$I = -2(x - 3)^2 + 18 - 17$

$I = -2(x - 3)^2 + 1$$

Vì $(x - 3)^2 \ge 0$ với mọi $x$

Suy ra $-2(x - 3)^2 \le 0$ với mọi $x$

Do đó $I = -2(x - 3)^2 + 1 \le 1$ với mọi $x$

Dấu "=" xảy ra khi:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Vậy giá trị lớn nhất của $I$ là 1 tại $x = 3$.

e)

$K = -5x^2 - 7x + 3$

$K = -5(x^2 + \frac{7}{5}x) + 3$

$K = -5(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{7}{10} + \frac{49}{100} - \frac{49}{100}) + 3$

$K = -5[(x + \frac{7}{10})^2 - \frac{49}{100}] + 3$

$K = -5(x + \frac{7}{10})^2 + \frac{49}{20} + 3$

$K = -5(x + \frac{7}{10})^2 + \frac{109}{20}$

Vì $(x + \frac{7}{10})^2 \ge 0$ với mọi $x$

Suy ra $-5(x + \frac{7}{10})^2 \le 0$ với mọi $x$

Do đó $K = -5(x + \frac{7}{10})^2 + \frac{109}{20} \le \frac{109}{20}$ với mọi $x$

Dấu "=" xảy ra khi:

$x + \frac{7}{10} = 0$

$x = -\frac{7}{10}$

Vậy giá trị lớn nhất của $K$ là $\frac{109}{20}$ tại $x = -\frac{7}{10}$.