Giúp mình với! * VÍ DỤ 3: Cho hàm số $y=(x+a)^3+(x+b)^3-x^3$ với a , b là tham số thực. Khi hàm số đồng,biến trên $(-\infty;+\infty),$ hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=4(a^2+b^2)-(a+b)-ab.$,$A.~MinA=-2.$ $\underline{B.}~MinA=-\frac1{16}.$ $C.~MinA=-\frac14.$ $D.~MinA=0.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$y=(x+a)^3+(x+b)^3-x^3$
$y&#x27; = 3(x + a)^2 + 3(x + b)^2 - 3x^2$
$y&#x27; = 3x^2 + 6(a + b)x + 3(a^2 + b^2)$
Hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$ khi $y&#x27; \geq 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$
$\Delta&#x27; = 9(a + b)^2 - 9(a^2 + b^2) \leq 0$
$18ab \leq 0$
$ab \leq 0$
$A = 4(a + b)^2 - 9ab - (a + b)$
Đặt $t = a + b$
Vì $ab \leq 0$ nên $(a+b)^2 \geq (a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \geq 0$ không giúp chặn dưới cho $-ab$.
Mặt khác, từ $ab \leq 0$, ta có $-ab \geq 0$.
Do đó $A = 4(a^2 + b^2) - (a + b) - ab \geq 4 \cdot \dfrac{(a+b)^2}{2} - (a+b) - 0$ là chưa chính xác vì $-ab \geq 0$.
Biến đổi $A = 4(a+b)^2 - 9ab - (a+b)$
Vì $ab \leq 0 \Rightarrow -9ab \geq 0$
$A \geq 4(a+b)^2 - (a+b)$
Đặt $t = a + b$
$A \geq 4t^2 - t = \left(2t - \dfrac{1}{4}ight)^2 - \dfrac{1}{16} \geq -\dfrac{1}{16}$
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} ab = 0 \ a + b = \dfrac{1}{8} \end{cases}$
$\left[ \begin{aligned} &\begin{cases} a = 0 \ b = \dfrac{1}{8} \end{cases} 	ext{ (n)} \ &\begin{cases} b = 0 \ a = \dfrac{1}{8} \end{cases} 	ext{ (n)} \end{aligned} ight.$
$\Rightarrow B$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số $ y = (x+a)^3 + (x+b)^3 - x^3 $ và tìm điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ y $:

$$
y&#x27; = 3(x+a)^2 + 3(x+b)^2 - 3x^2
$$

$$
y&#x27; = 3\left((x+a)^2 + (x+b)^2 - x^2\right)
$$

Bước 2: Tiến hành giản lược biểu thức bên trong:

$$
(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2
$$
$$
(x+b)^2 = x^2 + 2bx + b^2
$$

Thay vào, ta có:

$$
y&#x27; = 3\left((x^2 + 2ax + a^2) + (x^2 + 2bx + b^2) - x^2\right)
$$

$$
= 3\left(x^2 + 2ax + a^2 + x^2 + 2bx + b^2 - x^2\right)
$$

$$
= 3\left(x^2 + 2(a+b)x + (a^2 + b^2)\right)
$$

Bước 3: Để hàm số $ y $ đồng biến trên $(- \infty; + \infty)$, thì $ y&#x27; \geq 0 $ với mọi $ x $. Điều này xảy ra khi biểu thức bậc hai:

$$
x^2 + 2(a+b)x + (a^2 + b^2) \geq 0
$$

điều kiện này sẽ thỏa mãn nếu:

1. Định thức $ D $ của biểu thức bậc hai không dương:

$$
D = (2(a+b))^2 - 4(a^2 + b^2) \leq 0
$$

$$
4(a+b)^2 - 4(a^2 + b^2) \leq 0
$$

$$
(a+b)^2 - (a^2 + b^2) \leq 0
$$

2. Từ đây, ta có:

$$
a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 \leq 0 \Rightarrow 2ab \leq 0
$$

Vậy ta có $ ab \leq 0 $, nghĩa là $ a $ và $ b $ phải có dấu trái ngược.

Bước 4: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = 4(a^2 + b^2) - (a + b) - ab $.

Ta biết $ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab $.

Giả sử $ s = a + b $ và $ p = ab $. Từ đó ta có:

$$
A = 4((s^2 - 2p)) - s - p
$$
$$
= 4s^2 - 8p - s - p
$$
$$
= 4s^2 - 9p - s
$$

Do $ p \leq 0 $ (vì $ ab \leq 0 $), chúng ta có thể tìm giá trị tối ưu cho $ A $.

Bước 5: Để tối thiểu hóa $ A $, ta xét với $ p = 0 $ (khi một trong hai $ a $ hoặc $ b $ bằng 0):

$$
A = 4s^2 - s
$$

Tối thiểu hóa $ A $ trong trường hợp $ a + b = s $.

Xét đạo hàm:

$$
\frac{dA}{ds} = 8s - 1
$$
Đặt $ \frac{dA}{ds} = 0 $:

$$
8s - 1 = 0 \Rightarrow s = \frac{1}{8}
$$

Giá trị của $ A $ tại điểm này là:

$$
A = 4\left(\frac{1}{8}\right)^2 - \frac{1}{8} = 4\left(\frac{1}{64}\right) - \frac{1}{8} = \frac{1}{16} - \frac{2}{16} = -\frac{1}{16}
$$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ A $ là:

$$
\text{Min} A = -\frac{1}{16}.
$$

Vậy đáp án là $ \underline{B.} \, \text{Min} A = -\frac{1}{16}. $

Anh Trí · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Trường hợp 1: $x \ge \frac{1}{2}$

$|2x - 1| = 2x - 1$

$2x - 1 = x + 4$

$2x - x = 4 + 1$

$x = 5$ (Thỏa mãn)

Trường hợp 2: $x < \frac{1}{2}$

$|2x - 1| = -(2x - 1) = 1 - 2x$

$1 - 2x = x + 4$

$-2x - x = 4 - 1$

$-3x = 3$

$x = -1$ (Thỏa mãn)

Vậy $x \in \{5; -1\}$