« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $11$
$...$ Bài 2. Cho hàm số $y=x^2+2x-3$,a) Vẽ đồ thị.,b) Biện luận số nghiệm của $x^2+2x-2+m=2m$,c) Tìm m để $|x^2+2x-3|=|m|$ có 2 nghiệm.,d) Tìm m để $2x^2-4|x|-2+2m=0$ có 4 nghiệm phân biệt.

Question

Minami-ke · Accepted Answer

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một. ### a) Vẽ đồ thị của hàm số $y = x^2 + 2x - 3$ Hàm số này là một hàm bậc hai có dạng chuẩn $y = ax^2 + bx + c$ với $a = 1$, $b = 2$ và $c = -3$. Đồ thị của hàm số này là một parabol mở lên. 1. **Tính tọa độ đỉnh**: Công thức tọa độ đỉnh $x = -\frac{b}{2a}$: $$ x = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 $$ Thay vào hàm để tìm $y$: $$ y = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $$ Vậy tọa độ đỉnh là $(-1, -4)$. 2. **Tìm giao điểm với trục hoành** ($y=0$): Giải phương trình: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Sử dụng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} $$ Ta có hai nghiệm: $$ x_1 = 1, \quad x_2 = -3 $$ Vậy các điểm cần vẽ là: $(-3, 0)$, $ (1, 0) $ và đỉnh $(-1, -4)$. ### b) Biện luận số nghiệm của $x^2 + 2x - 2 + m = 2m$ Sắp xếp lại phương trình: $$ x^2 + 2x - 2 - m - 2m = 0 \implies x^2 + 2x - (3m + 2) = 0 $$ Tính delta: $$ \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(3m + 2)) = 4 + 12m + 8 = 12m + 12 $$ - Nếu $\Delta > 0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\implies 12m + 12 > 0 \implies m > -1$. - Nếu $\Delta = 0$: Phương trình có 1 nghiệm $\implies 12m + 12 = 0 \implies m = -1$. - Nếu $\Delta < 0$: Phương trình vô nghiệm $\implies 12m + 12 < 0 \implies m < -1$. ### c) Tìm $m$ để $|x^2 + 2x - 3| = |m|$ có 2 nghiệm Ta cần xét hai trường hợp của giá trị tuyệt đối: 1. **Trường hợp 1**: $x^2 + 2x - 3 = m$ $$ x^2 + 2x - (m + 3) = 0 $$ Delta: $$ \Delta_1 = 4 + 4(m + 3) = 4m + 16 $$ Cần $\Delta_1 > 0 \implies 4m + 16 > 0 \implies m > -4$. 2. **Trường hợp 2**: $x^2 + 2x - 3 = -m$ $$ x^2 + 2x + (m - 3) = 0 $$ Delta: $$ \Delta_2 = 4 - 4(m - 3) = 4 - 4m + 12 = 16 - 4m $$ Cần $\Delta_2 > 0 \implies 16 - 4m > 0 \implies m < 4$. Vậy ta có: $$ -4 < m < 4 $$ ### d) Tìm $m$ để $2x^2 - 4|x| - 2 + 2m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt Ta cần xét 2 trường hợp cho $|x|$: 1. **Trường hợp 1**: $x \geq 0$: $$ 2x^2 - 4x - 2 + 2m = 0 \implies 2x^2 - 4x + (2m - 2) = 0 $$ Delta: $$ \Delta_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2m - 2) = 16 - 16m + 16 = 32 - 16m $$ 2. **Trường hợp 2**: $x < 0$: $$ 2x^2 + 4x - 2 + 2m = 0 \implies 2x^2 + 4x + (2m - 2) = 0 $$ Delta: $$ \Delta_2 = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (2m - 2) = 16 - 16m + 16 = 32 - 16m $$ Để có 4 nghiệm phân biệt, cả hai delta phải lớn hơn 0: $$ 32 - 16m > 0 \implies m < 2 $$ Vậy, $m < 2$ là điều kiện để có 4 nghiệm phân biệt. ### Tóm tắt câu trả lời - a) Vẽ đồ thị parabol với đỉnh $(-1, -4)$ và giao điểm với trục hoành tại $(-3, 0)$ và $(1, 0)$. - b) Số nghiệm của $x^2 + 2x - 2 + m = 2m$: có 2 nghiệm nếu $m > -1$, 1 nghiệm nếu $m = -1$, vô nghiệm nếu $m < -1$. - c) $m$ để $|x^2 + 2x - 3| = |m|$ có 2 nghiệm là $-4 < m < 4$. - d) $m$ để $2x^2 - 4|x| - 2 + 2m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt là $m < 2$.

Huycindy · Answer

$a)$ TXD $D = \mathbb{R}$ $y = x^2 + 2x - 3$ $y' = 2x + 2$ $y' = 0$ $2x + 2 = 0$ $x = -1$ Bảng biến thiên: $\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -1 & & +\infty \ \hline y' & & - & 0 & + & \ \hline y & +\infty & & & & +\infty \ & & \searrow & & earrow & \ & & & -4 & & \end{array}$ Đỉnh $I(-1; -4)$ Giao với trục hoành tại các điểm $(1; 0)$ và $(-3; 0)$ Giao với trục tung tại điểm $(0; -3)$ Đồ thị: (xem hình) $b)$ $x^2 + 2x - 2 + m = 2m$ $x^2 + 2x - 3 = m - 1$ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x - 3$ và đường thẳng $y = m - 1$. $m - 1 < -4$ hay $m < -3$: phương trình vô nghiệm $m - 1 = -4$ hay $m = -3$: phương trình có 1 nghiệm $m - 1 > -4$ hay $m > -3$: phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $c)$ Ta có: $\vert{}x^2 + 2x - 3\vert{} = \vert{}m\vert{}$ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \vert{}x^2 + 2x - 3\vert{}$ và đường thẳng $y = \vert{}m\vert{}$. $\left[ \begin{aligned} \vert{}m\vert{} = 0 \ \vert{}m\vert{} > 4 \end{aligned} ight.$ $\left[ \begin{aligned} m = 0 \ m > 4 \ m < -4 \end{aligned} ight.$ $d)$ Ta có: $2x^2 - 4\vert{}x\vert{} - 2 + 2m = 0$ $2\vert{}x\vert{}^2 - 4\vert{}x\vert{} - 2 + 2m = 0$ $\vert{}x\vert{}^2 - 2\vert{}x\vert{} - 3 = -m - 2$ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \vert{}x\vert{}^2 - 2\vert{}x\vert{} - 3$ và đường thẳng $y = -m - 2$. $-4 < -m - 2 < -3$ $-2 < -m < -1$ $1 < m < 2$

ft. Hoàng · Answer

b) Ta có phương trình: $x^2 + 2x - 2 + m = 2m$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = m - 2$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^2 + 2x - 3$ và đường thẳng $y = m - 2$.

Đỉnh của parabol là $I(-1; -4)$.

Nếu $m - 2 < -4 \Leftrightarrow m < -2$: Phương trình vô nghiệm.

Nếu $m - 2 = -4 \Leftrightarrow m = -2$: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Nếu $m - 2 > -4 \Leftrightarrow m > -2$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

c) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = |x^2 + 2x - 3|$ và đường thẳng $y = |m|$.

Đồ thị hàm số $y = |x^2 + 2x - 3|$ được giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới trục hoành qua trục hoành.

Đồ thị có các điểm cực trị là đỉnh $I(-1; 0)$ và đỉnh cũ của parabol đối xứng lên thành $I'(-1; 4)$.

Phương trình có 2 nghiệm khi $|m| = 0$ (tức $m = 0$) hoặc $|m| > 4$ (tức $m > 4$ hoặc $m < -4$).

d) Phương trình $2x^2 - 4|x| - 2 + 2m = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 2|x| - 1 + m = 0$

$\Leftrightarrow |x|^2 - 2|x| - 3 = -m - 2$

Đặt $t = |x|$ ($t \geq 0$). Phương trình trở thành $t^2 - 2t - 3 = -m - 2$.

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình ẩn $t$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

Xét hàm số $f(t) = t^2 - 2t - 3$ với $t \geq 0$. Đỉnh của parabol là $(1; -4)$.

Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi $-m - 2 > -4$ và $-m - 2 < -3$.

$-m - 2 > -4 \Leftrightarrow m < 2$.

$-m - 2 < -3 \Leftrightarrow m > 1$.

Vậy $1 < m < 2$.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $11$ $...$