gthic giúp tớ tsao lại biến đổi đc ra như dưới vậy ạ $y=\sin x+\cos x$,$\Leftrightarrow y=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)$

Question

gthic giúp tớ tsao lại biến đổi đc ra như dưới vậy ạ  $y=\sin x+\cos x$,$\Leftrightarrow y=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)$

Huycindy · Accepted Answer

$y = \sin x + \cos x$
$y = \sqrt{2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right)$
Vì $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ nên:
$y = \sqrt{2} \left( \sin x \cos\dfrac{\pi}{4} + \cos x \sin\dfrac{\pi}{4} \right)$
$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$

Timi · Answer

Để biến đổi biểu thức $y = \sin x + \cos x$ thành dạng $y = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hàm lượng giác.

Bước 1: Nhận dạng dạng tổng quát
Ta biết rằng:
$$
\sin a + \cos a = \sqrt{2} \sin\left(a + \frac{\pi}{4}\right)
$$
với $a = x$.

Bước 2: Tính hệ số
Đầu tiên, ta có thể tính giá trị của $\sqrt{2}$ bằng cách sử dụng định lý Pythagore:
$$
\sqrt{(\sin x)^2 + (\cos x)^2} = \sqrt{1} = 1
$$
Tuy nhiên, trong trường hợp của chúng ta, ta không cần sử dụng điều này. Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng $\sin x + \cos x$ có thể viết lại theo dạng này.

Bước 3: Sử dụng công thức
Bây giờ, chúng ta có:
$$
y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x\right)
$$
Ở đây, ta sử dụng rằng $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.

Bước 4: Áp dụng công thức cộng
Dựa vào công thức cộng của hàm sin, ta có:
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
$$

Bước 5: Kết hợp lại
Do đó, ta có:
$$
y = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
$$

Vậy, ta đã biến đổi thành công:
$$
y = \sin x + \cos x \Leftrightarrow y = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
$$

**Kết luận**: 
Biểu thức $y = \sin x + \cos x$ có thể được viết lại dưới dạng $y = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.