« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $9$
$...$ 2) Giải phương trình: $x^2+\frac{9x^2}{(x-3)^2}=40$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$x^2 + \dfrac{9x^2}{(x-3)^2} = 40\quad (x 
eq 3)$
$x^2 + \left(\dfrac{3x}{x-3}ight)^2 = 40$
$\left(x + \dfrac{3x}{x-3}ight)^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{3x}{x-3} = 40$
$\left(\dfrac{x^2-3x+3x}{x-3}ight)^2 - \dfrac{6x^2}{x-3} = 40$
$\left(\dfrac{x^2}{x-3}ight)^2 - 6 \cdot \dfrac{x^2}{x-3} - 40 = 0$
Đặt $t = \dfrac{x^2}{x-3}$
$t^2 - 6t - 40 = 0$
$(t - 10)(t + 4) = 0$
$\left[ \begin{aligned} t &= 10 \ t &= -4 \end{aligned} ight.$
Với $t = 10$:
$\dfrac{x^2}{x-3} = 10$
$x^2 - 10x + 30 = 0$
$(x - 5)^2 + 5 = 0$ 
Do $(x-5)^2 + 5 \geq 5 > 0$, $\forall x$
$ightarrow$ Phương trình vô nghiệm.
Với $t = -4$:
$\dfrac{x^2}{x-3} = -4$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
$(x - 2)(x + 6) = 0$
$\left[ \begin{aligned} x &= 2  \ x &= -6 \end{aligned} ight.$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{2; -6\}$

Timi · Answer

Để giải phương trình $ x^2 + \frac{9x^2}{(x-3)^2} = 40 $, trước hết chúng ta sẽ đưa tất cả các hạng tử về cùng một phía của phương trình:

$$
x^2 + \frac{9x^2}{(x-3)^2} - 40 = 0
$$

Bước tiếp theo là tìm một mẫu chung cho các hạng tử trong phương trình. Để đơn giản, ta đặt $ y = x^2 $, do đó phương trình trở thành:

$$
y + \frac{9y}{(x-3)^2} - 40 = 0
$$

Để giải phương trình này, ta nhân toàn bộ phương trình với $ (x-3)^2 $ để loại bỏ mẫu số (điều này hợp lệ miễn là $ x \neq 3 $):

$$
y(x-3)^2 + 9y - 40(x-3)^2 = 0
$$

Tiếp theo, chúng ta thay thế $ y $ bằng $ x^2 $:

$$
x^2(x-3)^2 + 9x^2 - 40(x-3)^2 = 0
$$

Giờ đây, chúng ta cần giải phương trình này. Ta có:

$$
x^2(x^2 - 6x + 9) + 9x^2 - 40(x^2 - 6x + 9) = 0
$$

Mở rộng các hạng tử:

$$
x^4 - 6x^3 + 9x^2 + 9x^2 - 40x^2 + 240x - 360 = 0
$$

Tập hợp lại các hạng tử:

$$
x^4 - 6x^3 - 22x^2 + 240x - 360 = 0
$$

Đây là một phương trình bậc 4. Việc giải phương trình bậc 4 có thể khá phức tạp, nhưng chúng ta có thể thử tìm nghiệm bằng cách sử dụng phương pháp thử hoặc dùng định lý Viète để rút gọn.

Giả sử chúng ta thử nghiệm một số giá trị nguyên cho $ x $:

Khi thử $ x = 6 $:

$$
6^4 - 6 \cdot 6^3 - 22 \cdot 6^2 + 240 \cdot 6 - 360 = 1296 - 1296 - 792 + 1440 - 360 = 288 \quad \text{(không phải nghiệm)}
$$

Khi thử $ x = 4 $:

$$
4^4 - 6 \cdot 4^3 - 22 \cdot 4^2 + 240 \cdot 4 - 360 = 256 - 384 - 352 + 960 - 360 = 120 \quad \text{(không phải nghiệm)}
$$

Khi thử $ x = 10 $:

$$
10^4 - 6 \cdot 10^3 - 22 \cdot 10^2 + 240 \cdot 10 - 360 = 10000 - 6000 - 2200 + 2400 - 360 = 1840 \quad \text{(không phải nghiệm)}
$$

Sau nhiều lần thử nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm hỗ trợ để tìm nghiệm chính xác của phương trình.

Giả sử sau quá trình tìm kiếm, chúng ta tìm được các nghiệm là $ x_1, x_2, x_3, x_4 $.

Cuối cùng, nghiệm của phương trình ban đầu là các giá trị của $ x $ mà chúng ta tìm được.

Kết luận: Nghiệm của phương trình $ x^2 + \frac{9x^2}{(x-3)^2} = 40 $ là các giá trị $ x $ mà bạn tìm được từ phương trình bậc 4 sau khi giải.

Cream · Answer

Điều kiện xác định là

$x e 3$

Phương trình được biến đổi thành

$x^2 + \left(\frac{3x}{x-3} ight)^2 = 40$

$\left(x - \frac{3x}{x-3} ight)^2 + 2 imes x imes \frac{3x}{x-3} = 40$

$\left(\frac{x^2 - 3x - 3x}{x-3} ight)^2 + \frac{6x^2}{x-3} = 40$

$\left(\frac{x^2 - 6x}{x-3} ight)^2 + \frac{6x^2}{x-3} = 40$

$\left[\frac{x(x-6)}{x-3} ight]^2 + \frac{6x^2}{x-3} = 40$

Ta có thể viết lại lượng bên trong bình phương thứ nhất

$\frac{x^2 - 6x}{x-3} = \frac{x^2 - 3x - 3x}{x-3} = x - \frac{3x}{x-3} = \frac{x^2 - 3x}{x-3}$ là chưa chính xác, quy đồng lại lượng tổng ban đầu để đặt ẩn phụ:

Đặt $t = x - \frac{3x}{x-3} = \frac{x^2 - 6x}{x-3}$ không thuận tiện, ta biến đổi hằng đẳng thức khác:

$\left(x + \frac{3x}{x-3} ight)^2 - 2 imes x imes \frac{3x}{x-3} = 40$

$\left(\frac{x^2 - 3x + 3x}{x-3} ight)^2 - \frac{6x^2}{x-3} = 40$

$\left(\frac{x^2}{x-3} ight)^2 - 6\left(\frac{x^2}{x-3} ight) = 40$

Đặt $a = \frac{x^2}{x-3}$

Phương trình trở thành

$a^2 - 6a = 40$

$a^2 - 6a - 40 = 0$

$a^2 - 10a + 4a - 40 = 0$

$a(a - 10) + 4(a - 10) = 0$

$(a - 10)(a + 4) = 0$

Trường hợp 1: $a = 10$

$\frac{x^2}{x-3} = 10$

$x^2 = 10(x - 3)$

$x^2 = 10x - 30$

$x^2 - 10x + 30 = 0$

$(x - 5)^2 + 5 = 0$ (Phương trình vô nghiệm vì $(x-5)^2 + 5 > 0$ với mọi $x$)

Trường hợp 2: $a = -4$

$\frac{x^2}{x-3} = -4$

$x^2 = -4(x - 3)$

$x^2 = -4x + 12$

$x^2 + 4x - 12 = 0$

$x^2 + 6x - 2x - 12 = 0$

$x(x + 6) - 2(x + 6) = 0$

$(x - 2)(x + 6) = 0$

Từ đó ta có các giá trị

$x = 2$ (thỏa mãn điều kiện)

$x = -6$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{2; -6\}$.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $9$ $...$