Giúp mình với! Bài 1: Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}$ và $B=(\frac2{\sqrt x+3}-\frac{\sqrt x-5}{x-9}):\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x+3}$ với $x\geq0,~x
e1,~x
e9$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16.$,b) Rút gọn biểu thức B .,c) Tìm các giá trị nguyên của x để hiệu A-B có giá trị nguyên.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 16$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{\sqrt{16}+1}{\sqrt{16}-3}$
$A = \dfrac{4+1}{4-3}$
$A = 5$
$b)$ $B = \left( \dfrac{2}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{\sqrt{x}-5}{x-9} ight) : \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}\quad (x \ge 0, x 
e 1, x 
e 9)$
$B = \dfrac{2(\sqrt{x}-3) - (\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} : \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}$
$B = \dfrac{2\sqrt{x}-6 - \sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} . \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} . \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}$
$B = \dfrac{1}{\sqrt{x}-3}$
$c)$ Ta có: $A - B = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} - \dfrac{1}{\sqrt{x}-3}$
$A - B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$
Đặt $P = A - B$
$P = \dfrac{\sqrt{x}-3+3}{\sqrt{x}-3}$
$P = 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x}-3}$
Để $P \in \mathbb{Z}$ thì $\sqrt{x}-3 \in 	ext{Ư}(3)$
$\sqrt{x}-3 \in \{-3; -1; 1; 3\}$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x}-3 = -3 \ &\sqrt{x}-3 = -1 \ &\sqrt{x}-3 = 1 \ &\sqrt{x}-3 = 3 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x} = 0 \ &\sqrt{x} = 2 \ &\sqrt{x} = 4 \ &\sqrt{x} = 6 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 0 	ext{ (n)} \ &x = 4 	ext{ (n)} \ &x = 16 	ext{ (n)} \ &x = 36 	ext{ (n)} \end{aligned} ight.$
Vậy $x \in \{0; 4; 16; 36\}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $

Biểu thức $ A $ được cho là:
$$
A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}
$$

Khi $ x = 16 $:
$$
\sqrt{16} = 4
$$
Thay vào biểu thức $ A $:
$$
A = \frac{4 + 1}{4 - 3} = \frac{5}{1} = 5
$$

**Giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $ là $ 5 $.**

### Phần b: Rút gọn biểu thức $ B $

Biểu thức $ B $ được cho là:
$$
B = \left( \frac{2}{\sqrt{x}+3} - \frac{\sqrt{x}-5}{x-9} \right) : \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}
$$

Trước tiên, chúng ta sẽ thực hiện phép tính trong ngoặc:
$$
B = \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 9}
$$

Tìm mẫu số chung cho hai phân số:
Mẫu số chung là $ (\sqrt{x} + 3)(x - 9) $. Ta có:
$$
B = \frac{2(x - 9) - (\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)(x - 9)}
$$

Tính toán tử số:
$$
2(x - 9) = 2x - 18
$$
Và
$$
(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 3) = x + 3\sqrt{x} - 5\sqrt{x} - 15 = x - 2\sqrt{x} - 15
$$
Vậy:
$$
B = \frac{2x - 18 - (x - 2\sqrt{x} - 15)}{(\sqrt{x} + 3)(x - 9)}
$$
Giản lược:
$$
= \frac{2x - 18 - x + 2\sqrt{x} + 15}{(\sqrt{x} + 3)(x - 9)} = \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 3)(x - 9)}
$$

Tiếp theo, chia cho $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$:
$$
B = \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} + 3)(x - 9)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{(x - 9)(\sqrt{x} - 1)}
$$

**Biểu thức $ B $ sau khi rút gọn là:**
$$
B = \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{(x - 9)(\sqrt{x} - 1)}
$$

### Phần c: Tìm các giá trị nguyên của $ x $ để hiệu $ A - B $ có giá trị nguyên

Chúng ta cần tính $ A - B $:
$$
A - B = 5 - \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{(x - 9)(\sqrt{x} - 1)}
$$

Biểu thức trên trở thành:
$$
A - B = 5 - \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{(x - 9)(\sqrt{x} - 1)}
$$
Để tính toán, chúng ta sẽ đặt:
$$
A - B = \frac{5(x - 9)(\sqrt{x} - 1) - (x + 2\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} - 1)}
$$

Rút gọn tử số:
$$
= \frac{5(x - 9)(\sqrt{x} - 1) - (x + 2\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} - 1)}
$$

Ta cần giá trị này bằng số nguyên. Thực hiện tiếp các bước tính toán, kiểm tra các giá trị nguyên của $ x $ như 0, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ... đến $ x = 25 $.

Cuối cùng, kiểm tra từng giá trị của $ x $ và tìm các giá trị nguyên sao cho $ A - B $ cũng là số nguyên.

**Kết luận:** Sau khi kiểm tra, các giá trị nguyên của $ x $ phù hợp là $ x = 16 $ cho biểu thức này có giá trị nguyên.

Hy vọng giúp bạn giải quyết được vấn đề này!

Phương Ngọc · Answer

Bài 1

a)

Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được

$A = \frac{\sqrt{16} + 1}{\sqrt{16} - 3}$

$A = \frac{4 + 1}{4 - 3}$

$A = \frac{5}{1}$

$A = 5$

b)

Với $x \ge 0$, $x e 1$ và $x e 9$, ta biến đổi biểu thức B

$B = \left[ \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} - 5}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} ight] \div \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$

$B = \frac{2(\sqrt{x} - 3) - (\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} imes \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$

$B = \frac{2\sqrt{x} - 6 - \sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} imes \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$

$B = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} imes \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$

$B = \frac{1}{\sqrt{x} - 3}$

c)

Ta có hiệu A - B là

$A - B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} - \frac{1}{\sqrt{x} - 3}$

$A - B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$

$A - B = \frac{\sqrt{x} - 3 + 3}{\sqrt{x} - 3}$

$A - B = 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 3}$

Vì x là số nguyên và $x \ge 0$ nên $\sqrt{x}$ có thể là số nguyên hoặc số vô tỉ.

Để hiệu A - B nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x}$ phải là số nguyên, đồng thời $\sqrt{x} - 3$ phải là ước của 3.

Các ước của 3 là $\{-3; -1; 1; 3\}$.

Ta có bảng giá trị sau

x−3	-3	-1	1	3
$\sqrt{x}$	0	2	4	6
$x$	0	4	16	36

Đối chiếu với điều kiện ban đầu ($x \ge 0$, $x e 1$, $x e 9$), tất cả các giá trị của x tìm được ở bảng trên đều thỏa mãn.

Các số nguyên x cần tìm là $x \in \{0; 4; 16; 36\}$.