Giúp mình với! Bài 3: Cho biểu thức $A=\frac{x-8}{\sqrt x+3}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac{5\sqrt x+3}{x-9}$ với $x\geq0,~x
e9$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$,b) Chứng minh rằng $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x+3}.$,c) Với $M=\frac AB.$ Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức M đạt giá trị nguyên.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 4$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{4-8}{\sqrt{4}+3}$
$A = \dfrac{-4}{2+3}$
$A = \dfrac{-4}{5}$
$b)$ $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \dfrac{5\sqrt{x}+3}{x-9}\quad (x \ge 0, x 
e 9)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3) - (5\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x + 3\sqrt{x} - 5\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x - 2\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$ (dpcm)
$c)$ Ta có: $M = \dfrac{A}{B}$
$M = \dfrac{x-8}{\sqrt{x}+3} : \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$
$M = \dfrac{x-8}{\sqrt{x}+1}$
Trường hợp 1: $M = 0$
$x - 8 = 0$
$x = 8\,\,(n)$
Trường hợp 2: $M 
e 0$
$M\sqrt{x} = x - 8 - M$
$\sqrt{x} = \dfrac{x-8-M}{M}$
Vì $x, M \in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt{x}$ là số hữu tỉ, dẫn đến $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$
$M = \dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)-7}{\sqrt{x}+1}$
$M = \sqrt{x} - 1 - \dfrac{7}{\sqrt{x}+1}$
Để $M \in \mathbb{Z}$ thì $\sqrt{x}+1 \in 	ext{Ư}(7)$
Do $\sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x}+1 \ge 1$ nên $\sqrt{x}+1 \in \{1; 7\}$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x}+1 = 1 \ &\sqrt{x}+1 = 7 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x} = 0 \ &\sqrt{x} = 6 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 0 	ext{ (n)} \ &x = 36 	ext{ (n)} \end{aligned} ight.$
Vậy $x \in \{0; 8; 36\}$

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a) Tính giá trị của biểu thức A khi $ x = 4 $.

Biểu thức $ A = \frac{x-8}{\sqrt{x}+3} $.

Khi $ x = 4 $:
$$
A = \frac{4 - 8}{\sqrt{4} + 3} = \frac{-4}{2 + 3} = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5}.
$$

### b) Chứng minh rằng $ B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} $.

Biểu thức $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{5\sqrt{x} + 3}{x - 9} $.

Đầu tiên, ta viết lại biểu thức $ B $:
$$
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{5\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}.
$$

Chúng ta sẽ tìm mẫu số chung cho hai phân thức:
Mẫu số chung là $ (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) = x - 9 $.

Viết lại $ B $:
$$
B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) - (5\sqrt{x} + 3)}{x - 9}.
$$

Tiến hành khai triển tử số:
$$
\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3) = x + 3\sqrt{x},
$$
do đó
$$
B = \frac{x + 3\sqrt{x} - 5\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \frac{x - 2\sqrt{x} - 3}{x - 9}.
$$

Chúng ta thấy rằng $ x - 3 = (\sqrt{x})^2 - 3 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) $. 
Thay $ t = \sqrt{x} $:
$$
B = \frac{t^2 - 2t - 3}{t^2 - 9} = \frac{(t-3)(t+1)}{(t-3)(t+3)}.
$$

Nếu $ t \neq 3 $, chúng ta có:
$$
B = \frac{t+1}{t+3}.
$$

Vậy $ B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} $ đúng như yêu cầu.

### c) Với $ M = \frac{A}{B} $. Tìm tất cả các số nguyên $ x $ để biểu thức $ M $ đạt giá trị nguyên.

Biểu thức $ M $ là:
$$
M = \frac{A}{B} = \frac{\frac{x-8}{\sqrt{x}+3}}{\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}} = \frac{x-8}{\sqrt{x}+1}.
$$

Để $ M $ là số nguyên, điều kiện cần có là $ x - 8 $ chia hết cho $ \sqrt{x} + 1 $:
$$
M = \frac{x - 8}{\sqrt{x} + 1}.
$$

Ta xét $ k = \sqrt{x} $, nghĩa là $ x = k^2 $. Do đó:
$$
M = \frac{k^2 - 8}{k + 1}.
$$

Ta sẽ phân tích:
$$
M = \frac{(k^2 - 8)}{(k + 1)} = \frac{(k - 2)(k + 2)}{k + 1}.
$$

Để $ M $ nguyên, $ k + 1 $ phải chia hết cho $ k - 2 $ và $ k + 2 $.

Thử với các giá trị nguyên của $ k $:
- $ k = 2 $: $ M = \frac{4 - 8}{3} = \frac{-4}{3} $ (không nguyên)
- $ k = 3 $: $ M = \frac{9 - 8}{4} = \frac{1}{4} $ (không nguyên)
- $ k = 4 $: $ M = \frac{16 - 8}{5} = \frac{8}{5} $ (không nguyên)
- $ k = 5 $: $ M = \frac{25 - 8}{6} = \frac{17}{6} $ (không nguyên)
- $ k = 6 $: $ M = \frac{36 - 8}{7} = \frac{28}{7} = 4 $ (nguyên)

Tiếp tục thử với các giá trị âm:
- $ k = -1 $: $ M = \frac{1 - 8}{0} $ (không xác định)
- $ k = -2 $: $ M = \frac{4 - 8}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4 $ (nguyên)

Từ đây, ta có các giá trị nguyên của $ x $:
1. $ k = 6 $ cho $ x = 36 $
2. $ k = -2 $ cho $ x = 4 $.

Kết quả cuối cùng là các giá trị nguyên của $ x $ mà $ M $ nguyên là:
$$
\boxed{36} \text{ và } \boxed{4}.
$$

êm là châu báu · Answer

Bài 3: Cho biểu thức $A=\frac{x-8}{\sqrt x+3}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\frac{5\sqrt x+3}{x-9}$ với $x\geq0,~x e9$ a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4.$ b) Chứng minh rằng $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x+3}.$ c) Với $M=\frac AB.$ Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức M đạt giá trị nguyên.