Giúp mình với! Bài 2: Cho hai biểu thức $A=\frac x{\sqrt x+1}$ và $B=\frac1{\sqrt x+1}+\frac{x+\sqrt x+2}{x-1}$ với $x\geq0,~x
e1$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16.$,b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 16$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{16}{\sqrt{16}+1}$
$A = \dfrac{16}{4+1}$
$A = \dfrac{16}{5}$
$b)$ $B = \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} + \dfrac{x+\sqrt{x}+2}{x-1}\quad (x \ge 0, x 
e 1)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}-1 + x+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$B = \dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$ (dpcm)

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải bài 2 từng phần một.

### Phần a: Tính giá trị của biểu thức A khi $ x = 16 $

Biểu thức $ A $ được định nghĩa là:
$$
A = \frac{x}{\sqrt{x} + 1}
$$

Khi $ x = 16 $, ta tính được:
$$
\sqrt{16} = 4
$$

Thay giá trị vào biểu thức A:
$$
A = \frac{16}{4 + 1} = \frac{16}{5}
$$

Vậy giá trị của biểu thức A khi $ x = 16 $ là:
$$
A = \frac{16}{5}
$$

### Phần b: Chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} $

Biểu thức $ B $ được định nghĩa là:
$$
B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x + \sqrt{x} + 2}{x - 1}
$$

Trước tiên, chúng ta sẽ tìm một mẫu số chung để cộng hai phân thức này. Mẫu số chung sẽ là $(\sqrt{x} + 1)(x - 1)$.

Thay đổi biểu thức $ B $:
$$
B = \frac{1(x - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)} + \frac{(x + \sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)}{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}
$$
$$
B = \frac{x - 1 + (x + \sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}
$$

Giải tiếp phần tử tử:
$$
(x + \sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1) = x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}^2 + \sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 2
$$
$$
= x\sqrt{x} + x + x + 2\sqrt{x} + 2 = x\sqrt{x} + 2x + 3\sqrt{x} + 2
$$

Do đó, phần tử tử của B là:
$$
x - 1 + (x\sqrt{x} + 2x + 3\sqrt{x} + 2) = x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 1
$$

Vậy biểu thức $ B $ trở thành:
$$
B = \frac{x\sqrt{x} + 3x + 3\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}
$$

Bây giờ chúng ta sẽ tìm dạng của mẫu số $ \sqrt{x} - 1 $ bằng cách quy đổi nó:
$$
B = \frac{(x + 3\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}
$$

Cuối cùng, ta nhận thấy rằng:
$$
B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
$$

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
$$
B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
$$

### Kết luận
a) Giá trị của biểu thức A khi $ x = 16 $ là $ \frac{16}{5} $.

b) Đã chứng minh được $ B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} $.

lê thị phương thảo · Answer

Bài 3

a)

Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được

$A = \frac{4 - 8}{\sqrt{4} + 3}$

$A = \frac{-4}{2 + 3}$

$A = \frac{-4}{5}$

b)

Với $x \ge 0$ và $x e 9$, quy đồng mẫu thức biểu thức B ta được

$B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \frac{5\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$B = \frac{x + 3\sqrt{x} - (5\sqrt{x} + 3)}{x - 9}$

$B = \frac{x - 2\sqrt{x} - 3}{x - 9}$

$B = \frac{x - 3\sqrt{x} + \sqrt{x} - 3}{x - 9}$

$B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} - 3)}{x - 9}$

$B = \frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

c)

Ta có biểu thức M là

$M = \frac{x - 8}{\sqrt{x} + 3} \div \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

$M = \frac{x - 8}{\sqrt{x} + 3} imes \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1}$

$M = \frac{x - 8}{\sqrt{x} + 1}$

$M = \frac{x - 1 - 7}{\sqrt{x} + 1}$

$M = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) - 7}{\sqrt{x} + 1}$

$M = \sqrt{x} - 1 - \frac{7}{\sqrt{x} + 1}$

Vì x là số nguyên và $x \ge 0$ nên $\sqrt{x}$ có thể là số nguyên hoặc số vô tỉ.

Để M nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x}$ phải là số nguyên, đồng thời $\sqrt{x} + 1$ phải là ước của 7.

Vì $\sqrt{x} \ge 0$ nên $\sqrt{x} + 1 \ge 1$.

Do đó $\sqrt{x} + 1$ chỉ có thể nhận các giá trị ước dương của 7 là 1 và 7.

Trường hợp 1:

$\sqrt{x} + 1 = 1$

$\sqrt{x} = 0$

$x = 0$ (thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2:

$\sqrt{x} + 1 = 7$

$\sqrt{x} = 6$

$x = 36$ (thỏa mãn điều kiện)

Các số nguyên x cần tìm là $x = 0$ và $x = 36$.