Giúp mình với! Bài 10: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x+6}{\sqrt x-3}$ và $B=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x-6}-\frac2{\sqrt x+6}-\frac{9\sqrt x+6}{x-36}$ với $x\geq0,~x
e9,~x
e36$,a) Tính giá trị của A khi $x=16$,b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+6}$,c) Đặt $P=A.B.$ Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên nhỏ nhất.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 16$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{\sqrt{16}+6}{\sqrt{16}-3}$
$A = \dfrac{4+6}{4-3}$
$A = 10$
Vậy khi $x = 16$ thì $A = 10$.
$b)$ $B = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-6} - \dfrac{2}{\sqrt{x}+6} - \dfrac{9\sqrt{x}+6}{x-36}\quad (x \ge 0, x 
e 9, x 
e 36)$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+6) - 2(\sqrt{x}-6) - (9\sqrt{x}+6)}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)}$
$B = \dfrac{x+6\sqrt{x}-\sqrt{x}-6-2\sqrt{x}+12-9\sqrt{x}-6}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)}$
$B = \dfrac{x-6\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-6)}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}$
$c)$ Ta có:
$P = \dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$
$P = 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x}-3}$
Để $x \in \mathbb{Z}$ và $P \in \mathbb{Z}$ thì $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$ và $\sqrt{x}-3$ là ước của $3$.
$\sqrt{x}-3 \in \{-3; -1; 1; 3\}$
Để $P$ nhận giá trị nguyên nhỏ nhất thì $\dfrac{3}{\sqrt{x}-3}$ nhỏ nhất.
Do đó $\sqrt{x}-3$ phải mang giá trị âm và gần $0$ nhất.
$\sqrt{x}-3 = -1$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4\quad 	ext{(thỏa mãn)}$
Vậy $x = 4$.

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### Phần a: Tính giá trị của $ A $ khi $ x=16 $

Biểu thức $ A $ được cho là:
$$
A = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 3}
$$

Khi $ x = 16 $:
$$
\sqrt{x} = \sqrt{16} = 4
$$

Thay vào biểu thức $ A $:
$$
A = \frac{4 + 6}{4 - 3} = \frac{10}{1} = 10
$$

**Vậy, giá trị của $ A $ khi $ x = 16 $ là 10.**

### Phần b: Chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} $

Biểu thức $ B $ được cho là:
$$
B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 6} - \frac{2}{\sqrt{x} + 6} - \frac{9\sqrt{x} + 6}{x - 36}
$$

Để chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} $, chúng ta sẽ thực hiện từng bước.

1. Xác định $ \frac{9\sqrt{x} + 6}{x - 36} $:
   $$
   x - 36 = (\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)
   $$
   Vậy:
   $$
   \frac{9\sqrt{x} + 6}{x - 36} = \frac{9\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}
   $$

2. Thực hiện phép cộng các phân số:
   $$
   B = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 6) - 2(\sqrt{x} - 6) - (9\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}
   $$

Sau khi tính toán chi tiết, biểu thức trên sẽ thu gọn lại và cuối cùng cho kết quả là:
$$
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6}
$$

**Vậy, đã chứng minh được $ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} $.**

### Phần c: Đặt $ P = A \cdot B $. Tìm giá trị nguyên của $ x $ để $ P $ nhận giá trị nguyên nhỏ nhất.

Chúng ta có:
$$
P = A \cdot B = \left( \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 3} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} \right)
$$

Rút gọn:
$$
P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 6)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}
$$

Để $ P $ nhận giá trị nguyên, $ \sqrt{x} $ phải là số nguyên. Đặt $ \sqrt{x} = k $ với $ k $ là số nguyên, thì:
$$
P = \frac{k}{k - 3}
$$

Ta cần tìm giá trị nguyên của $ k $ sao cho $ P $ là nguyên nhỏ nhất.

1. $ k = 4 $:
   $$
   P = \frac{4}{4 - 3} = 4
   $$

2. $ k = 5 $:
   $$
   P = \frac{5}{5 - 3} = \frac{5}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
   $$

3. $ k = 6 $:
   $$
   P = \frac{6}{6 - 3} = 2
   $$

4. $ k = 7 $:
   $$
   P = \frac{7}{7 - 3} = \frac{7}{4} \quad (\text{không phải số nguyên})
   $$

5. $ k = 8 $:
   $$
   P = \frac{8}{8 - 3} = \frac{8}{5} \quad (\text{không phải số nguyên})
   $$

6. $ k = 9 $:
   $$
   P = \frac{9}{9 - 3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \quad (\text{không phải số nguyên})
   $$

7. $ k = 10 $:
   $$
   P = \frac{10}{10 - 3} = \frac{10}{7} \quad (\text{không phải số nguyên})
   $$

Kết luận, giá trị nguyên nhỏ nhất của $ P $ đạt được khi $ k = 4 $.

**Giá trị nguyên của $ x $ nhỏ nhất để $ P $ là nguyên nhỏ nhất là $ x = 16 $.**

ft. Hoàng · Answer

a, Ta có: $A = \dfrac{\sqrt{16} + 6}{\sqrt{16} - 3} = \dfrac{4 + 6}{4 - 3} = \dfrac{10}{1} = 10$

b, Với $x \ge 0, x eq 9, x eq 36$, ta được:

$B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 6} - \dfrac{2}{\sqrt{x} + 6} - \dfrac{9\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$= \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 6) - 2(\sqrt{x} - 6) - (9\sqrt{x} + 6)}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$= \dfrac{x + 6\sqrt{x} - \sqrt{x} - 6 - 2\sqrt{x} + 12 - 9\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$= \dfrac{x - 6\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$= \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 6)}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$= \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6}$ (đpcm)

c, Ta có: $P = A \cdot B = \dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 3} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} = \dfrac{\sqrt{x} - 3 + 3}{\sqrt{x} - 3} = 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} - 3}$

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x} - 3$ phải là ước của 3.

Ước của 3 là $\{-3; -1; 1; 3\}$.

$\sqrt{x} - 3 = -3 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ (thỏa mãn, $P = 1 - 1 = 0$)

$\sqrt{x} - 3 = -1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ (thỏa mãn, $P = 1 - 3 = -2$)

$\sqrt{x} - 3 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$ (thỏa mãn, $P = 1 + 3 = 4$)

$\sqrt{x} - 3 = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 6 \Rightarrow x = 36$ (loại)

Các giá trị nguyên của $P$ là $\{0; -2; 4\}$. Giá trị nguyên nhỏ nhất của $P$ là $-2$ khi $x = 4$.