Giúp mình với! Bài 11: Cho hai biểu thức $A=\frac7{\sqrt x+8}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}+\frac2{\sqrt x+3}-\frac{18}{x-9}$ với $x\geq0,~x
e9$,a) Tính giá trị của A khi $x=36$,b) Rút gọn biểu thức B,c) Đặt $P=A.B.$ Tìm tất cả các giá trị của x nguyên để P có giá trị nguyên.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 36$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{7}{\sqrt{36}+8}$
$A = \dfrac{7}{6+8}$
$A = \dfrac{7}{14}$
$A = \dfrac{1}{2}$
Vậy khi $x = 36$ thì $A = \dfrac{1}{2}$.
$b)$ $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} + \dfrac{2}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{18}{x-9}\quad (x \ge 0, x 
e 9)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3) + 2(\sqrt{x}-3) - 18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6-18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x+5\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+8)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$
$c)$ Ta có:
$P = \dfrac{7}{\sqrt{x}+8} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$
$P = \dfrac{7}{\sqrt{x}+3}$
Để $x \in \mathbb{Z}$ và $P \in \mathbb{Z}$ thì $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$ và $\sqrt{x}+3$ là ước của $7$.
Do $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x}+3 \ge 3$
$\sqrt{x}+3 = 7$
$\sqrt{x} = 4$
$x = 16(tm)$
Vậy $x = 16$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

**a) Tính giá trị của A khi $ x=36 $**

Ta có biểu thức:

$$
A = \frac{7}{\sqrt{x} + 8}
$$

Khi $ x = 36 $, ta tính:

$$
\sqrt{36} = 6
$$

Thay vào biểu thức A:

$$
A = \frac{7}{6 + 8} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}
$$

Vậy giá trị của $ A $ khi $ x = 36 $ là $ \frac{1}{2} $.

---

**b) Rút gọn biểu thức B**

Biểu thức $ B $ được cho là:

$$
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} + \frac{2}{\sqrt{x}+3} - \frac{18}{x-9}
$$

Để rút gọn $ B $, ta nhận thấy rằng $ x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3) $. Do đó, ta có:

$$
\frac{18}{x-9} = \frac{18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}
$$

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm chung mẫu số cho các phân thức trong $ B $. Mẫu số chung của $ B $ là $ (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) $.

Rút gọn từng phân thức:

1. Đối với phân thức đầu tiên:

$$
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{x + 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}
$$

2. Đối với phân thức thứ hai:

$$
\frac{2}{\sqrt{x}+3} = \frac{2(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} = \frac{2\sqrt{x}-6}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}
$$

3. Đối với phân thức thứ ba:

$$
-\frac{18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}
$$

Kết hợp các phân thức lại, ta có:

$$
B = \frac{x + 3\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 6 - 18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{x + 5\sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}
$$

Vậy biểu thức $ B $ đã được rút gọn thành:

$$
B = \frac{x + 5\sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}
$$

---

**c) Đặt $ P = A \cdot B $. Tìm tất cả các giá trị của $ x $ nguyên để $ P $ có giá trị nguyên.**

Biểu thức $ P $ được tính như sau:

$$
P = A \cdot B = \frac{1}{2} \cdot \frac{x + 5\sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}
$$

Để $ P $ là một số nguyên, ta cần điều kiện sau:

$$
\frac{x + 5\sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \text{ phải chia hết cho } 2
$$

Ta cần tìm giá trị của $ x $ sao cho tử số $ x + 5\sqrt{x} - 24 $ chia hết cho 2.

Gọi $ \sqrt{x} = n $ (với $ n $ là số nguyên không âm), ta có $ x = n^2 $. Thay vào tử số:

$$
n^2 + 5n - 24
$$

Giải phương trình $ n^2 + 5n - 24 = 0 $ bằng công thức nghiệm:

$$
n = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 + 4 \cdot 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2}
$$

Ta có hai nghiệm:

1. $ n = \frac{6}{2} = 3 $
2. $ n = \frac{-16}{2} = -8 $ (không hợp lệ vì $ n $ phải là không âm)

Với $ n = 3 $, ta có:

$$
\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9
$$

Nhưng $ x \neq 9 $ theo đề bài, do đó không có giá trị $ x $ nào thỏa mãn.

Vậy không có giá trị $ x $ nguyên nào để $ P $ là số nguyên.

**Kết luận:**

- a) Giá trị của $ A $ khi $ x = 36 $ là $ \frac{1}{2} $.
- b) Biểu thức $ B $ được rút gọn thành $ \frac{x + 5\sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} $.
- c) Không có giá trị nguyên của $ x $ để $ P $ là số nguyên.