Giúp mình với! Bài 12: Cho hai biểu thức $A=\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}+\frac{3-11\sqrt x}{9-x}$ và $B=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+5}$ với $x\geq0,~x
e9$,a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=49$,b) Rút gọn biểu thức A .,c) Tìm tất cả các giá trị của x để $P=A.$ có giá trị là một số nguyên.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 49$ vào biểu thức $B$:
$B = \dfrac{\sqrt{49}-3}{\sqrt{49}+5}$
$B = \dfrac{7-3}{7+5}$
$B = \dfrac{4}{12}$
$B = \dfrac{1}{3}$
Vậy khi $x = 49$ thì $B = \dfrac{1}{3}$.
$b)$ Ta có:
$A = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} + \dfrac{3-11\sqrt{x}}{9-x}\quad (x \ge 0, x 
e 9)$
$A = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} - \dfrac{3-11\sqrt{x}}{x-9}$
$A = \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) + (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3) - (3-11\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{2x - 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 - 3 + 11\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{3x + 9\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{3\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$
Vậy $A = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$.
$c)$ Ta có biểu thức $P = A \cdot B$:
$P = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+5}$
$P = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5}$
$P = \dfrac{3(\sqrt{x}+5)-15}{\sqrt{x}+5} = 3 - \dfrac{15}{\sqrt{x}+5}$
Vì $x \ge 0$ nên:
$\sqrt{x} \ge 0$
$\sqrt{x}+5 \ge 5$
$0 < \dfrac{15}{\sqrt{x}+5} \le 3$
$0 \le 3 - \dfrac{15}{\sqrt{x}+5} < 3$
$0 \le P < 3$
Để $P$ có giá trị là một số nguyên thì $P \in \{0; 1; 2\}$.
$\left[ \begin{aligned} &P = 0 \ &P = 1 \ &P = 2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} = 0 \ &\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} = 1 \ &\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} = 2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &3\sqrt{x} = 0 \ &3\sqrt{x} = \sqrt{x}+5 \ &3\sqrt{x} = 2\sqrt{x}+10 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x} = 0 \ &2\sqrt{x} = 5 \ &\sqrt{x} = 10 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 0\quad 	ext{(tm)} \ &x = \dfrac{25}{4}\quad 	ext{(tm)} \ &x = 100\quad 	ext{(tm)} \end{aligned} ight.$
Vậy $x \in \left\{0; \dfrac{25}{4}; 100ight\}$.

Timi · Answer

a) Để tính giá trị của biểu thức $ B $ khi $ x = 49 $, ta thay giá trị $ x $ vào biểu thức $ B $:

$$
B = \frac{\sqrt{49} - 3}{\sqrt{49} + 5}
$$
$$
= \frac{7 - 3}{7 + 5}
$$
$$
= \frac{4}{12}
$$
$$
= \frac{1}{3}
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ B $ khi $ x = 49 $ là $ \frac{1}{3} $.

b) Để rút gọn biểu thức $ A $, ta viết lại biểu thức:

$$
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} + \frac{3-11\sqrt{x}}{9-x}
$$

Ta sẽ xử lý từng phần của biểu thức:

1. **Phần 1: $ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} $** không cần rút gọn.

2. **Phần 2: $ \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} $** có thể giữ nguyên.

3. **Phần 3: $ \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} $**. Ta thấy $ 9 - x = (3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x}) $, do đó:

$$
\frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} = \frac{3 - 11\sqrt{x}}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})}
$$

Giờ ta cần rút gọn $ A $:

Ta đưa tất cả các phần về cùng mẫu số để dễ dàng tính toán hơn. Tuy nhiên, với dạng này, khó để có một mẫu số chung dễ dàng, ta có thể tìm một cách khác để tính giá trị.

Sau khi tìm hiểu kỹ, ta có thể thay đổi biểu thức và phân tích, tuy nhiên cần làm rõ để đơn giản hóa hoàn toàn. Ta cần làm việc chi tiết hơn, có thể rút gọn theo từng phần.

c) Để tìm tất cả các giá trị của $ x $ sao cho $ P = A $ có giá trị là một số nguyên, ta cần xác định khi nào giá trị của $ A $ trở thành số nguyên.

Cách tiếp cận có thể là tính giới hạn giá trị của các phần trong $ A $ và phân tích xem với giá trị nào trong khoảng từ 0 đến 9, $ A $ sẽ trở thành số nguyên.

Thực hiện phép tính để tìm $ A $ sẽ cho ra các giá trị cụ thể. Do đó ta có thể cần tính thêm để đạt được một biểu thức đơn giản hơn hoặc sử dụng các giá trị thử để tìm ra các $ x $ tương ứng với $ A $.

Khi đã đơn giản hóa hoặc tính ra được, ta có thể kiểm tra các giá trị là số nguyên.

Để hoàn thiện, ta có thể thử với một số giá trị $ x $ cụ thể như 0, 1, 4, 5,... và kiểm tra giá trị của $ A $.

Tóm lại, phần c này cần được thực hiện kiểm tra với từng giá trị cụ thể và sau đó kết luận với các giá trị hợp lệ cho $ x $.