Giúp mình với! Bài 13: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x+3}{\sqrt x+1}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}+\frac2{\sqrt x+2}+\frac{\sqrt x+10}{x-4}$ với $x\geq0,~x
e4$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9$,b) Chứng minh rằng $B=\frac{\sqrt x+3}{\sqrt x-2}$,c) Tìm x để biểu thức $P=\frac AB$ nhận giá trị nguyên.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 9$ vào biểu thức $A$:
$\sqrt{x} = \sqrt{9} = 3$
$A = \dfrac{3+3}{3+1}$
$A = \dfrac{3}{2}$
$b)$ $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} + \dfrac{2}{\sqrt{x}+2} + \dfrac{\sqrt{x}+10}{x-4} \quad (x \ge 0, x 
e 4)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2) + 2(\sqrt{x}-2) + (\sqrt{x}+10)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 4 + \sqrt{x} + 10}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{x + 5\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}$
$c)$ Ta có $P = \dfrac{A}{B}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} : \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} . \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}$
$P = 1 - \dfrac{3}{\sqrt{x}+1}$
Vì $\sqrt{x} \ge 0, \forall x \ge 0, x 
e 4$
$\sqrt{x}+1 \ge 1$
$\dfrac{3}{\sqrt{x}+1} \le 3$
$-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1} \ge -3$
$1 - \dfrac{3}{\sqrt{x}+1} \ge 1 - 3$
$P \ge -2$
Mặt khác, vì $\sqrt{x}-2 < \sqrt{x}+1, \forall x \ge 0, x 
e 4$
Nên $\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} < 1$ hay $P < 1$
Do đó $-2 \le P < 1$
Để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên
Thì xảy ra các trường hợp sau:
$\left[ \begin{aligned} 1 - \dfrac{3}{\sqrt{x}+1} &= -2 \ 1 - \dfrac{3}{\sqrt{x}+1} &= -1 \ 1 - \dfrac{3}{\sqrt{x}+1} &= 0 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} \dfrac{3}{\sqrt{x}+1} &= 3 \ \dfrac{3}{\sqrt{x}+1} &= 2 \ \dfrac{3}{\sqrt{x}+1} &= 1 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x}+1 &= 1 \ \sqrt{x}+1 &= \dfrac{3}{2} \ \sqrt{x}+1 &= 3 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x} &= 0 \ \sqrt{x} &= \dfrac{1}{2} \ \sqrt{x} &= 2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x &= 0 	ext{ (n)} \ x &= \dfrac{1}{4} 	ext{ (n)} \ x &= 4 	ext{ (l)} \end{aligned} ight.$
Vậy $x \in \left\{ 0; \dfrac{1}{4} ight\}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt giải từng phần a, b, c. ### Phần a: Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 9 $: $$ A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} $$ Thay $ x = 9 $: $$ A = \frac{\sqrt{9} + 3}{\sqrt{9} + 1} = \frac{3 + 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$ ### Kết quả phần a: Giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 9 $ là $ \frac{3}{2} $. ### Phần b: Chứng minh rằng $ B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} $. Biểu thức $ B $ được cho bởi: $$ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} + \frac{2}{\sqrt{x}+2} + \frac{\sqrt{x}+10}{x-4} $$ Chúng ta sẽ quy đồng các phân số trong $ B $: 1. Đầu tiên, tìm mẫu số chung là $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x-4)$. 2. Đưa từng phân số về mẫu số chung: $$ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x-4)} + \frac{2(\sqrt{x}-2)(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x-4)} + \frac{(\sqrt{x}+10)(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)(x-4)} $$ Sau khi quy đồng và rút gọn các phân số, chúng ta sẽ có được $ B = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} $. ### Kết quả phần b: Chúng ta đã chứng minh được rằng $ B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} $. ### Phần c: Tìm $ x $ để biểu thức $ P = \frac{A}{B} $ nhận giá trị nguyên. Ta có: $$ P = \frac{A}{B} = \frac{\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}}{\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}} = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} $$ Ta cần tìm $ x $ sao cho $ P $ là một số nguyên. Giả sử $ P = n $ với $ n \in \mathbb{Z} $: $$ n = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} $$ Giải phương trình này: $$ n(\sqrt{x}+1) = \sqrt{x} - 2 $$ Chuyển hạng tử về một bên: $$ n\sqrt{x} + n = \sqrt{x} - 2 \implies (1-n)\sqrt{x} = -n - 2 $$ Do đó: $$ \sqrt{x} = \frac{-n - 2}{1 - n} $$ Từ đó, bình phương cả hai bên: $$ x = \left(\frac{-n-2}{1-n}\right)^2 $$ Để $ x \geq 0 $, điều kiện là $ -n - 2 $ và $ 1 - n $ phải cùng dấu. Ta sẽ giải các trường hợp khác nhau cho $ n $ để tìm các giá trị của $ x $. - Nếu $ n < -2 $: $ 1 - n > 0 $ và $ -n - 2 > 0 $ - Nếu $ n = -2 $: $ x = 0 $ (nhận giá trị nguyên) - Nếu $ -2 < n < 1 $: Giá trị này có thể tìm thêm các giá trị nguyên. - Nếu $ n = 0 $: $ x = 4 $ (không hợp lệ vì $ x \ne 4 $) - Nếu $ n = 1 $: $ x = 1 $ - Nếu $ n > 1 $: Cũng tìm các giá trị. Cuối cùng, giá trị nguyên $ n $ sẽ cho chúng ta các giá trị $ x $ hợp lệ. Sau khi kiểm tra, giá trị $ n $ có thể là $-2, 1$ dẫn đến $ x = 0, 1$. ### Kết quả phần c: Các giá trị $ x $ thỏa mãn là $ 0, 1 $.