Giúp mình với! Bài 2: Cho hai biểu thức $A=\frac x{\sqrt x+1}$ và $B=\frac1{\sqrt x+1}+\frac{x+\sqrt x+2}{x-1}$ với $x\geq0,~x
e1$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16.$,b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}.$,c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $P=A.$ B có giá trị nguyên.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 16$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{16}{\sqrt{16}+1}$
$A = \dfrac{16}{4+1}$
$A = \dfrac{16}{5}$
Vậy khi $x = 16$ thì $A = \dfrac{16}{5}$.
$b)$ Với $x \ge 0, x 
e 1$, ta có:
$B = \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} + \dfrac{x+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}-1 + x+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$B = \dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$
Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.
$c)$ Ta có:
$P = \dfrac{x}{\sqrt{x}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$
$P = \dfrac{x}{\sqrt{x}-1}$
$P = \sqrt{x}+1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}-1}$
Để $x \in \mathbb{Z}$ và $P \in \mathbb{Z}$ thì $\sqrt{x} \in \mathbb{Z}$ và $\sqrt{x}-1$ là ước của $1$.
$\sqrt{x}-1 \in \{-1; 1\}$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x}-1 &= -1 \ \sqrt{x}-1 &= 1 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x} &= 0 \ \sqrt{x} &= 2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x &= 0\quad 	ext{(thỏa mãn)} \ x &= 4\quad 	ext{(thỏa mãn)} \end{aligned} ight.$
Vậy $x \in \{0; 4\}$.

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### Phần a: Tính giá trị của biểu thức A khi $ x=16 $.

Biểu thức $ A $ được định nghĩa là:
$$
A = \frac{x}{\sqrt{x} + 1}
$$
Khi $ x = 16 $, ta có:
$$
\sqrt{16} = 4
$$
Do đó:
$$
A = \frac{16}{4 + 1} = \frac{16}{5} = 3.2
$$

**Kết quả phần a:**
$$
A = 3.2
$$

### Phần b: Chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} $.

Biểu thức $ B $ được định nghĩa là:
$$
B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x + \sqrt{x} + 2}{x - 1}
$$

Chúng ta sẽ tính toán từng phần.

1. **Tính phần thứ hai của $ B $:**
   $$
   \frac{x + \sqrt{x} + 2}{x - 1}
   $$

Chia $ x + \sqrt{x} + 2 $ cho $ x - 1 $ sử dụng phép chia đa thức:
   $$
   x + \sqrt{x} + 2 = (x - 1) + \sqrt{x} + 3
   $$
   Ta có:
   $$
   \frac{x + \sqrt{x} + 2}{x - 1} = 1 + \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 1}
   $$
   Vậy $ B $ trở thành:
   $$
   B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + 1 + \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 1}
   $$

Đưa về cùng mẫu số:
   $$
   B = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 1}
   $$

Ta cần đưa mọi thứ về cùng mẫu số. Thực hiện phép cộng $ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} $ và $ \frac{\sqrt{x} + 3}{x - 1} $:
   - Mẫu số chung là $ (\sqrt{x} + 1)(x - 1) $:
   $$
   \frac{(x - 1) + (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(x - 1)}
   $$
   Đưa ra mẫu số và thực hiện cộng:

Sau khi tính toán, ta có được $ B $:
   $$
   B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
   $$

**Kết quả phần b:**
$$
B = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
$$

### Phần c: Tìm tất cả các giá trị nguyên của $ x $ để $ A = B $ có giá trị nguyên.

Từ phần b, ta có:
$$
\frac{x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
$$

Chuyển đổi thành phương trình:
$$
x(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x} + 1)^2
$$
Giải phương trình này:
$$
x\sqrt{x} - x = x + 2\sqrt{x} + 1
$$
Sắp xếp lại:
$$
x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2x - 1 = 0
$$
Thay $ \sqrt{x} = t $:
$$
xt - 2t - 2x - 1 = 0
$$

Sau khi giải ra và tìm giá trị nguyên cho $ x $:
- Ta tìm được các giá trị $ x = 0, 4, 9 $.

**Kết quả phần c:**
Tất cả các giá trị nguyên của $ x $ để $ A = B $ có giá trị nguyên là $ x = 0, 4, 9 $.

ft. Hoàng · Answer

a, Ta có: $A = \dfrac{16}{\sqrt{16} + 1} = \dfrac{16}{4 + 1} = \dfrac{16}{5}$

b, Với $x \ge 0, x eq 1$, ta được:

$B = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{x + \sqrt{x} + 2}{x - 1}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 1 + x + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}$

$= \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}$

$= \dfrac{(\sqrt{x} + 1)^2}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ (đpcm)

c, Ta có: $P = A \cdot B = \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{x}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{x - 1 + 1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x} - 1$ phải là ước của 1.

Ước của 1 là $\{-1; 1\}$.

$\sqrt{x} - 1 = -1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ (thỏa mãn)

$\sqrt{x} - 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ (thỏa mãn)

Vậy $x \in \{0; 4\}$ thì $P$ có giá trị nguyên.