Rút gọn: $B = \dfrac{1}{2(\sqrt{x} - 1)} + \dfrac{1}{2(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$B = \dfrac{1}{2(\sqrt{x} - 1)} + \dfrac{1}{2(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \quad (x \ge 0, x 
e 1)$
$B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{\sqrt{x} - 1}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{2}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x} - 1 + 2}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$
$B = \dfrac{2\sqrt{x} + 2}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$
$B = \dfrac{2(\sqrt{x} + 1)}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$
$B = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Timi · Answer

Để rút gọn biểu thức $ B = \dfrac{1}{2(\sqrt{x} - 1)} + \dfrac{1}{2(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} $, chúng ta sẽ tìm một mẫu số chung và cộng các phân số lại với nhau.

1. **Tìm mẫu số chung**:
   Mẫu số chung của ba phân số là $ 2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1) $.

2. **Viết lại các phân số với mẫu số chung**:
   - Phân số đầu tiên:
   $$
   \dfrac{1}{2(\sqrt{x} - 1)} = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
   $$
   
   - Phân số thứ hai:
   $$
   \dfrac{1}{2(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{(\sqrt{x} - 1)}{2(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
   $$
   
   - Phân số thứ ba đã có mẫu số chung:
   $$
   \dfrac{1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{2}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
   $$

3. **Cộng các phân số lại**:
   Bây giờ chúng ta có:
   $$
   B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{\sqrt{x} - 1}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} + \dfrac{2}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
   $$
   Kết hợp lại:
   $$
   B = \dfrac{(\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} - 1) + 2}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
   $$

4. **Đơn giản hóa tử số**:
   $$
   (\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} - 1) + 2 = 2\sqrt{x} + 2
   $$
   Vậy ta có:
   $$
   B = \dfrac{2(\sqrt{x} + 1)}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
   $$

5. **Rút gọn**:
   Rút gọn $ B $:
   $$
   B = \dfrac{\cancel{2}(\sqrt{x} + 1)}{\cancel{2}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}
   $$

Vậy kết quả cuối cùng là:
$$
\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}}
$$