Giúp mình với cho đủ chi tiêu :))

Gọi $d_i$ là số lượng số màu đỏ trong nhóm 40 số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số $i$.

Khi đó, nhóm 40 số liên tiếp này gồm các số $\{i, i+1, i+2, ..., i+39\}$.

Vì tập hợp $X$ có 120 phần tử nên $i$ có thể nhận các giá trị từ 1 đến 81.

Xét số lượng số màu đỏ trong ba nhóm 40 số liên tiếp không giao nhau bao phủ toàn bộ tập $X$:

Nhóm thứ nhất: $A_1 = \{1, 2, ..., 40\}$ có số lượng số màu đỏ là $d_1$.

Nhóm thứ hai: $A_2 = \{41, 42, ..., 80\}$ có số lượng số màu đỏ là $d_{41}$.

Nhóm thứ ba: $A_3 = \{81, 82, ..., 120\}$ có số lượng số màu đỏ là $d_{81}$.

Tổng số lượng số màu đỏ trong cả ba nhóm chính là tổng số lượng số màu đỏ của tập $X$:

$d_1 + d_{41} + d_{81} = 60$

Nếu cả ba giá trị $d_1, d_{41}, d_{81}$ đều bằng 20 thì bài toán đã được chứng minh xong.

Nếu tồn tại ít nhất một giá trị khác 20, giả sử trong ba số này có một số nhỏ hơn 20 và một số lớn hơn 20.

Không mất tính tổng quát, giả sử $d_a < 20$ và $d_b > 20$ với $a, b$ thuộc $\{1, 41, 81\}$.

Bây giờ ta tịnh tiến nhóm 40 số liên tiếp từ vị trí $a$ sang vị trí $b$.

Mỗi lần dịch chuyển sang phải hoặc sang trái một đơn vị, nhóm 40 số liên tiếp sẽ bỏ đi một số cũ và thêm vào một số mới.

Do đó, số lượng số màu đỏ trong nhóm sau mỗi lần dịch chuyển chỉ có thể tăng thêm 1, giảm đi 1 hoặc giữ nguyên.

Nghĩa là, hiệu giữa hai chỉ số liên tiếp luôn thỏa mãn:

$|d_{i+1} - d_i| \le 1$

Vì số lượng số màu đỏ thay đổi liên tục và giảm hoặc tăng từng đơn vị một từ một giá trị nhỏ hơn 20 ($d_a$) đến một giá trị lớn hơn 20 ($d_b$), nên theo nguyên lí biến thiên liên tục, bắt buộc phải tồn tại một chỉ số $k$ nằm giữa $a$ và $b$ sao cho:

$d_k = 20$

Khi đó, nhóm 40 số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ $k$ sẽ có đúng 20 số màu đỏ.

Vì nhóm này có tổng cộng 40 số nên số lượng số màu xanh còn lại trong nhóm sẽ là:

$40 - 20 = 20$ số màu xanh.

Vậy luôn tồn tại 40 số nguyên dương liên tiếp thuộc tập $X$ chứa đúng 20 số màu đỏ và 20 số màu xanh.