« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$
1.13. Cho các số thực a, b, c thoả mãn đồng thời hai đẳng thức:,$i)~(a+b)(b+c)(c+a)=abc;$ $ii)~(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3.$,Chứng minh rằng $abc=0.$

Question

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$

1.13. Cho các số thực a, b, c thoả mãn đồng thời hai đẳng thức:,$i)~(a+b)(b+c)(c+a)=abc;$ $ii)~(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3.$,Chứng minh rằng $abc=0.$

Tiffany · Accepted Answer

Từ đẳng thức ii), áp dụng hằng đẳng thức phân tích tổng hai lập phương, ta có:

$(a+b)(a^2-ab+b^2)(b+c)(b^2-bc+c^2)(c+a)(c^2-ca+a^2) = a^3b^3c^3$

$[(a+b)(b+c)(c+a)](a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) = a^3b^3c^3$

Thay đẳng thức i) vào biểu thức trên, ta được:

$abc(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) = a^3b^3c^3$

Giả sử $abc eq 0$, chia cả hai vế của đẳng thức cho $abc$ ta được:

$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) = a^2b^2c^2$

Với hai số thực $a, b$ bất kỳ, ta xét các trường hợp:

Nếu $ab \ge 0$:

$a^2 - ab + b^2 = (a-b)^2 + ab \ge ab = |ab|$

Nếu $ab < 0$:

$a^2 - ab + b^2 = (a+b)^2 - 3ab > -ab = |ab|$

Do đó, với mọi số thực $a, b$ ta luôn có:

$a^2 - ab + b^2 \ge |ab|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b$.

Tương tự, ta cũng có:

$b^2 - bc + c^2 \ge |bc|$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b = c$.

$c^2 - ca + a^2 \ge |ca|$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $c = a$.

Vì các vế của các bất đẳng thức trên đều lớn hơn 0 (do $abc eq 0$), nhân vế với vế ta được:

$(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2) \ge |ab|.|bc|.|ca| = a^2b^2c^2$

Để đẳng thức xảy ra thì các dấu bằng ở các bất đẳng thức thành phần phải đồng thời xảy ra, nghĩa là:

$a = b = c$

Thay $a = b = c vào đẳng thức i) ta được:

$(a+a)(a+a)(a+a) = a.a.a$

$8a^3 = a^3$

$7a^3 = 0$

$a = 0$

Vì $a = b = c$ nên suy ra $a = b = c = 0$, dẫn đến $abc = 0$ (mâu thuẫn với giả sử $abc eq 0$).

Vậy điều giả sử là sai.

Do đó, ta có điều phải chứng minh là $abc = 0$.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ abc = 0 $, chúng ta sẽ xem xét các điều kiện đã cho trong bài toán.

1. **Đẳng thức đầu tiên:**
   $$
   (a+b)(b+c)(c+a) = abc
   $$

2. **Đẳng thức thứ hai:**
   $$
   (a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3) = a^3b^3c^3
   $$

### Bước 1: Phân tích đẳng thức thứ nhất

Từ đẳng thức đầu tiên, nếu $ a, b, c $ đều khác 0, thì $ (a+b)(b+c)(c+a) $ sẽ có giá trị dương. Khi đó, $ abc $ cũng phải dương. Điều này có thể dẫn đến mâu thuẫn nếu chúng ta có điều kiện khác trong đẳng thức thứ hai.

### Bước 2: Xét trường hợp $ a, b, c $ là 0

Giả sử $ abc \neq 0 $, thì $ a, b, c $ đều khác 0. Dưới giả định này, ta có thể biểu diễn các số hạng $ a+b, b+c, c+a $ và $ a^3+b^3, b^3+c^3, c^3+a^3 $. Ta nhận thấy rằng sản phẩm $ (a+b)(b+c)(c+a) $ và $ (a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3) $ đều sẽ không thể bằng 0.

### Bước 3: Phân tích đẳng thức thứ hai

Tương tự, nếu $ a, b, c $ đều khác 0, thì $ a^3b^3c^3 $ sẽ dương. Nhưng chúng ta có thể thấy rằng với sự gia tăng của các số hạng, cả hai sản phẩm trên sẽ không thỏa mãn nếu $ abc \neq 0 $.

### Kết luận

Do đó, nếu $ abc \neq 0 $, cả hai đẳng thức sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Vì vậy, không thể tồn tại $ a, b, c $ đều khác 0 trong trường hợp này.

Vì vậy, kết luận rằng:
$$
abc = 0.
$$

**Đáp án:** $ abc = 0. $

<p>« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$ </p>