Giúp mình với! 2) Tìm x là số nguyên sao cho $x^2+13x+32$ là số chính phương

Question

Huycindy · Accepted Answer

Đặt $x^2 + 13x + 32 = k^2\,\,(x\in \mathbb{N},k \in \mathbb{N})$
$4x^2 + 52x + 128 = 4k^2$
$(2x + 13)^2 - 4k^2 = 41$
$(2x + 13 - 2k)(2x + 13 + 2k) = 41$
Do $k \ge 0$ nên $2x + 13 + 2k \ge 2x + 13 - 2 k$
Vì $x \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{N}$ nên $(2x + 13 - 2k)$ và $(2x + 13 + 2k)$ là các ước nguyên của $41$,ta xét các trường hợp:
Trường hợp $1:$
$\begin{cases} 2x + 13 - 2k = 1 \ 2x + 13 + 2k = 41 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x + 26 = 42 \ 4k = 40 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 4 \ k = 10 \end{cases}$ 
Trường hợp $2:$
$\begin{cases} 2x + 13 - 2k = 41 \ 2x + 13 + 2k = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x + 26 = 42 \ 4k = -40 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 4 \ k = -10 \end{cases}$ $($ Loại do $k = -10 
otin \mathbb{N})$
Trường hợp $3:$
$\begin{cases} 2x + 13 - 2k = -1 \ 2x + 13 + 2k = -41 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x + 26 = -42 \ 4k = -40 \end{cases}$
$\begin{cases} x = -17 \ k = -10 \end{cases}$ $($ Loại do $k = -10 
otin \mathbb{N})$
Trường hợp $4:$
$\begin{cases} 2x + 13 - 2k = -41 \ 2x + 13 + 2k = -1 \end{cases}$
$\begin{cases} 4x + 26 = -42 \ 4k = 40 \end{cases}$
$\begin{cases} x = -17 \ k = 10 \end{cases}$ 
Vậy $x \in \{4; -17\}$

Timi · Answer

Để tìm giá trị của $ x $ là số nguyên sao cho biểu thức $ x^2 + 13x + 32 $ là số chính phương, trước tiên ta đặt biểu thức này bằng một số chính phương $ n^2 $, với $ n $ là số nguyên.

Ta có phương trình:

$$
x^2 + 13x + 32 = n^2
$$

Chuyển vế, ta có:

$$
x^2 + 13x + (32 - n^2) = 0
$$

Phương trình bậc 2 này có nghiệm thực nếu và chỉ nếu delta $ \Delta $ của nó không âm. Delta được tính bằng công thức:

$$
\Delta = b^2 - 4ac
$$

Với $ a = 1, b = 13, c = 32 - n^2 $, ta có:

$$
\Delta = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot (32 - n^2) = 169 - 128 + 4n^2 = 41 + 4n^2
$$

Để phương trình có nghiệm thực, ta yêu cầu $ \Delta \geq 0 $:

$$
41 + 4n^2 \geq 0
$$

Điều này luôn đúng với mọi giá trị của $ n $ vì $ 4n^2 \geq 0 $. Do đó, phương trình bậc 2 sẽ luôn có nghiệm thực.

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{41 + 4n^2}}{2}
$$

Để $ x $ là số nguyên, $ \sqrt{41 + 4n^2} $ cần phải là một số nguyên, giả sử $ \sqrt{41 + 4n^2} = k $ với $ k $ là số nguyên. Ta có:

$$
k^2 = 41 + 4n^2 \implies 4n^2 = k^2 - 41 \implies n^2 = \frac{k^2 - 41}{4}
$$

Để $ n^2 $ là số nguyên, $ k^2 - 41 $ phải chia hết cho 4. Ta xét trường hợp $ k $ là số chẵn hoặc lẻ.

1. Nếu $ k $ là số chẵn: $ k = 2m $

$$
(2m)^2 - 41 = 4m^2 - 41
$$
Để $ 4m^2 - 41 \equiv 0 \mod 4 $ thì $ -41 \equiv 3 \mod 4$, không hợp lệ.

2. Nếu $ k $ là số lẻ: $ k = 2m + 1 $

$$
(2m+1)^2 - 41 = 4m^2 + 4m + 1 - 41 = 4m^2 + 4m - 40
$$

Để $ 4m^2 + 4m - 40 \equiv 0 \mod 4$, điều này luôn đúng.

Bây giờ ta cần $ k^2 - 41 \geq 0 $, tức là $ k^2 \geq 41 $, nên $ k \geq 7 $ (vì $ k $ là số nguyên dương).

Ta thử các giá trị $ k = 7, 8, 9, \ldots $ để tìm các giá trị $ n $:

- Với $ k = 7 $:

$$
7^2 = 49 \implies 49 - 41 = 8 \implies n^2 = 2 \quad \text{(không hợp lệ)}
$$

- Với $ k = 8 $:

$$
8^2 = 64 \implies 64 - 41 = 23 \implies n^2 = \frac{23}{4} \quad \text{(không hợp lệ)}
$$

- Với $ k = 9 $:

$$
9^2 = 81 \implies 81 - 41 = 40 \implies n^2 = 10 \quad \text{(không hợp lệ)}
$$

- Với $ k = 10 $:

$$
10^2 = 100 \implies 100 - 41 = 59 \implies n^2 = \frac{59}{4} \quad \text{(không hợp lệ)}
$$

- Với $ k = 11 $:

$$
11^2 = 121 \implies 121 - 41 = 80 \implies n^2 = 20 \quad \text{(không hợp lệ)}
$$

- Với $ k = 12 $:

$$
12^2 = 144 \implies 144 - 41 = 103 \implies n^2 = \frac{103}{4} \quad \text{(không hợp lệ)}
$$

- Với $ k = 13 $:

$$
13^2 = 169 \implies 169 - 41 = 128 \implies n^2 = 32 \quad \text{(hợp lệ)}
$$

Bây giờ thay $ n^2 = 32 $ vào phương trình $ x^2 + 13x + 32 - 32 = 0 $:

$$
x^2 + 13x = 0 \implies x(x + 13) = 0
$$

Vậy $ x = 0 $ hoặc $ x = -13 $.

Các giá trị của $ x $ thỏa mãn là $ x = 0 $ và $ x = -13 $.

**Kết luận**: Giá trị của $ x $ là số nguyên sao cho $ x^2 + 13x + 32 $ là số chính phương là $ x = 0 $ và $ x = -13 $.