Giải bất phương trình: (x+2)/(x -1) >= 3

Để giải bất phương trình \(\frac{x+2}{x-1} \geq 3\), ta thực hiện các bước sau: 1. **Chuyển về dạng hợp nhất**: Đầu tiên, ta chuyển số 3 về phía trái: \[ \frac{x+2}{x-1} - 3 \geq 0 \] Đưa 3 về dạng phân số: \[ \frac{x+2}{x-1} - \frac{3(x-1)}{x-1} \geq 0 \] Giải thích điều này: \[ \frac{x+2 - 3(x-1)}{x-1} \geq 0 \] Thực hiện phép tính trong tử số: \[ x + 2 - 3x + 3 = -2x + 5 \] Vậy bất phương trình trở thành: \[ \frac{-2x + 5}{x-1} \geq 0 \] 2. **Tìm nghiệm của tử số và mẫu số**: Tử số \(-2x + 5 = 0\) khi: \[ -2x + 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2} \] Mẫu số \(x - 1 = 0\) khi: \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \] 3. **Xác định các khoảng**: Các giá trị đáng chú ý là \(x = 1\) và \(x = \frac{5}{2}\). Ta chia số thực thành các khoảng: - \( (-\infty, 1) \) - \( (1, \frac{5}{2}) \) - \( (\frac{5}{2}, +\infty) \) 4. **Xét dấu của biểu thức trong các khoảng**: - **Khoảng \((-∞, 1)\)**: Chọn \(x = 0\): \[ \frac{-2(0) + 5}{0 - 1} = \frac{5}{-1} < 0 \quad (Âm) \] - **Khoảng \((1, \frac{5}{2})\)**: Chọn \(x = 2\): \[ \frac{-2(2) + 5}{2 - 1} = \frac{-4 + 5}{1} = \frac{1}{1} > 0 \quad (Dương) \] - **Khoảng \((\frac{5}{2}, +\infty)\)**: Chọn \(x = 3\): \[ \frac{-2(3) + 5}{3 - 1} = \frac{-6 + 5}{2} = \frac{-1}{2} < 0 \quad (Âm) \] 5. **Xác định nghiệm của bất phương trình**: Bất phương trình \(\frac{-2x + 5}{x-1} \geq 0\) dương trong khoảng \((1, \frac{5}{2})\) và bằng 0 tại \(x = \frac{5}{2}\). Do đó, nghiệm của bất phương trình là: \[ x \in (1, \frac{5}{2}] \] **Kết luận**: Nghiệm của bất phương trình là: \[ \boxed{(1, \frac{5}{2}]} \]