Giúp mình với!
Bài 8: Giải các hệ phương trình sau,$a,\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}-3\sqrt{y+2}=2\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{array} ight.$ $b.\left\{\begin{array}{l}\frac1x+\frac1y=\frac45\\frac1x-\frac1y=\frac15\end{array} ight.$ $c,\left\{\begin{array}{l}\frac{15}x-\frac7y=9\\frac4x+\frac9y=35\end{array} ight.$

Question

Giúp mình với!

Bài 8: Giải các hệ phương trình sau,$a,\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}-3\sqrt{y+2}=2\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{array} ight.$ $b.\left\{\begin{array}{l}\frac1x+\frac1y=\frac45\\frac1x-\frac1y=\frac15\end{array} ight.$ $c,\left\{\begin{array}{l}\frac{15}x-\frac7y=9\\frac4x+\frac9y=35\end{array} ight.$

booboo · Accepted Answer

Điều kiện xác định của hệ phương trình

$x \ge 1$

$y \ge -2$

Đặt $u = \sqrt{x - 1}$ và $v = \sqrt{y + 2}$ (với $u \ge 0, v \ge 0$).

Hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases} u - 3v = 2 \ 2u + 5v = 15 \end{cases}$

Từ phương trình đầu tiên, ta rút ra:

$u = 3v + 2$

Thế vào phương trình thứ hai:

$2(3v + 2) + 5v = 15$

$6v + 4 + 5v = 15$

$11v = 11$

$v = 1$ (thỏa mãn điều kiện)

Thay $v = 1$ ngược lại để tìm $u$:

$u = 3.1 + 2$

$u = 5$ (thỏa mãn điều kiện)

Trả lại biến gốc $x$ và $y$:

$\sqrt{x - 1} = 5$

$x - 1 = 25$

$x = 26$ (thỏa mãn điều kiện)

$\sqrt{y + 2} = 1$

$y + 2 = 1$

$y = -1$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (26; -1)$.

Timi · Answer

Để giải các hệ phương trình này, chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phần một.

### a. 
Hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
\sqrt{x-1}-3\sqrt{y+2}=2 \
2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15
\end{cases}
$$

Đặt $ a = \sqrt{x-1} $ và $ b = \sqrt{y+2} $, hệ phương trình trở thành:
$$
\begin{cases}
a - 3b = 2 \quad (1)\
2a + 5b = 15 \quad (2)
\end{cases}
$$

Từ phương trình (1), ta có:
$$
a = 3b + 2 \quad (3)
$$

Thay (3) vào (2):
$$
2(3b + 2) + 5b = 15 \
6b + 4 + 5b = 15 \
11b + 4 = 15 \
11b = 11 \
b = 1
$$

Thay $ b = 1 $ vào (3):
$$
a = 3(1) + 2 = 5
$$

Giờ ta có $ a = 5 $ và $ b = 1 $. Ta quay lại với $ x $ và $ y $:
$$
\sqrt{x-1} = 5 \Rightarrow x-1 = 25 \Rightarrow x = 26 \
\sqrt{y+2} = 1 \Rightarrow y+2 = 1 \Rightarrow y = -1
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = (26, -1)
$$

### b. 
Hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \
\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{5}
\end{cases}
$$

Gọi $ \frac{1}{x} = a $ và $ \frac{1}{y} = b $, ta có hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
a + b = \frac{4}{5} \quad (1)\
a - b = \frac{1}{5} \quad (2)
\end{cases}
$$

Cộng hai phương trình (1) và (2):
$$
2a = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{2}
$$

Thay $ a = \frac{1}{2} $ vào (1):
$$
\frac{1}{2} + b = \frac{4}{5} \Rightarrow b = \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}
$$

Vậy $ a = \frac{1}{2} $ và $ b = \frac{3}{10} $. Chuyển đổi lại về $ x $ và $ y $:
$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 2 \
\frac{1}{y} = \frac{3}{10} \Rightarrow y = \frac{10}{3}
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = \left(2, \frac{10}{3}\right)
$$

### c. 
Hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
\frac{15}{x} - \frac{7}{y} = 9 \quad (1) \
\frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 35 \quad (2)
\end{cases}
$$

Gọi $ \frac{1}{x} = a $ và $ \frac{1}{y} = b $, ta có hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
15a - 7b = 9 \quad (1)\
4a + 9b = 35 \quad (2)
\end{cases}
$$

Nhân phương trình (1) với 9 và phương trình (2) với 7 để loại b:
$$
\begin{cases}
135a - 63b = 81 \quad (3)\
28a + 63b = 245 \quad (4)
\end{cases}
$$

Cộng (3) và (4):
$$
135a - 63b + 28a + 63b = 81 + 245 \
163a = 326 \
a = 2
$$

Thay $ a = 2 $ vào (1):
$$
15(2) - 7b = 9 \
30 - 7b = 9 \
-7b = 9 - 30 \
-7b = -21 \
b = 3
$$

Chuyển đổi về $ x $ và $ y $:
$$
\frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \
\frac{1}{y} = 3 \Rightarrow y = \frac{1}{3}
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)
$$

### Tóm tắt nghiệm của các hệ phương trình:
- a: $(26, -1)$
- b: $\left(2, \frac{10}{3}\right)$
- c: $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$

Huycindy · Answer

$a)$ $\begin{cases} \sqrt{x-1} - 3\sqrt{y+2} = 2 \ 2\sqrt{x-1} + 5\sqrt{y+2} = 15 \end{cases}\quad(x \geq 1;y \geq -2)$
Đặt $u = \sqrt{x-1}$, $v = \sqrt{y+2}$
$\begin{cases} u - 3v = 2 \ 2u + 5v = 15 \end{cases}$
$\begin{cases} 2u - 6v = 4 \ 2u + 5v = 15 \end{cases}$
$\begin{cases} 11v = 11 \ u = 2 + 3v \end{cases}$
$\begin{cases} v = 1 \ u = 5 \end{cases}$
Suy ra: $\begin{cases} \sqrt{x-1} = 5 \ \sqrt{y+2} = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x - 1 = 25 \ y + 2 = 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 26 \ y = -1 \end{cases}$ 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (26; -1)$
$b)$ $\begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{5} \ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{5} \end{cases}\quad(x 
eq 0;y 
eq 0)$
$\begin{cases} \dfrac{2}{x} = 1 \ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2 \ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{5} \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2 \ \dfrac{1}{y} = \dfrac{3}{10} \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2 \ y = \dfrac{10}{3} \end{cases}$ 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(2; \dfrac{10}{3}ight)$
$c)$ $\begin{cases} \dfrac{15}{x} - \dfrac{7}{y} = 9 \ \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y} = 35 \end{cases}\quad(x 
eq 0;y 
eq 0)$
Đặt $u = \dfrac{1}{x}$, $v = \dfrac{1}{y}$
$\begin{cases} 15u - 7v = 9 \ 4u + 9v = 35 \end{cases}$
$\begin{cases} 135u - 63v = 81 \ 28u + 63v = 245 \end{cases}$
$\begin{cases} 163u = 326 \ 4u + 9v = 35 \end{cases}$
$\begin{cases} u = 2 \ 4 . 2 + 9v = 35 \end{cases}$
$\begin{cases} u = 2 \ v = 3 \end{cases}$
Suy ra: $\begin{cases} \dfrac{1}{x} = 2 \ \dfrac{1}{y} = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2} \ y = \dfrac{1}{3} \end{cases}$ 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = \left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{3}ight)$

Vu Nguyen · Answer

a)

Đặt $u=\sqrt{x-1}\ (u\ge 0),\ v=\sqrt{y+2}\ (v\ge 0)$

$$\displaystyle\begin{cases}u-3v=2\2u+5v=15\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}u=2+3v\2(2+3v)+5v=15\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}u=5\v=1\end{cases}$$

$$\displaystyle\sqrt{x-1}=5\Rightarrow x=26;\qquad \sqrt{y+2}=1\Rightarrow y=-1$$

Nghiệm: $\displaystyle (x;y)=(26;-1)$

---

b)

Đk :$x e0,\ y e0$. Đặt $a=\dfrac1x,\ b=\dfrac1y$

$$\displaystyle\begin{cases}a+b=\dfrac45\a-b=\dfrac15\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2a=1\b=\dfrac45-a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=\dfrac12\b=\dfrac{3}{10}\end{cases}$$

$$\displaystyle x=\frac{1}{a}=2;\qquad y=\frac{1}{b}=\frac{10}{3}$$

Nghiệm: $\displaystyle (x;y)=\left(2;\dfrac{10}{3} ight)$

---

c)

Đk $x e0,\ y e0$. Đặt $a=\dfrac1x,\ b=\dfrac1y$

$$\displaystyle\begin{cases}15a-7b=9\4a+9b=35\end{cases}\xrightarrow{ imes9;\ imes7}\begin{cases}135a-63b=81\28a+63b=245\end{cases}$$

$$\displaystyle 163a=326\Rightarrow a=2;\qquad 4 \cdot 2+9b=35\Rightarrow b=3$$

$$\displaystyle x=\frac{1}{a}=\frac12;\qquad y=\frac{1}{b}=\frac13$$

Nghiệm: $\displaystyle (x;y)=\left(\dfrac12;\dfrac13 ight)$

vudung2013 · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Bài 8 - Câu a)$\begin{cases}\sqrt{x-1}-3\sqrt{y+2}=2\ 2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{cases}$Bước 1: Điều kiện xác định (ĐKXĐ)$x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$$y + 2 \geq 0 \Leftrightarrow y \geq -2$Bước 2: Đặt ẩn phụĐặt $A = \sqrt{x - 1}$ (Điều kiện: $A \geq 0$)Đặt $B = \sqrt{y + 2}$ (Điều kiện: $B \geq 0$)Hệ phương trình trở thành:$\begin{cases}A-3B=2\quad (1)\ 2A+5B=15\quad (2)\end{cases}$Bước 3: Giải hệ phương trình theo $A$ và $B$Từ phương trình (1), ta suy ra: $A = 2 + 3B$Thế vào phương trình (2):$2(2+3B)+5B=15$$4+6B+5B=15$$11B=11$$B=1\quad \text{(tha\ mãn\ điu\ kin\ }B\ge 0\text{)}$Tính $A$:$A=2+3\cdot 1=5\quad \text{(tha\ mãn\ điu\ kin\ }A\ge 0\text{)}$Bước 4: Thay ngược lại để tìm $x$ và $y$Với $A = 5$:$\sqrt{x-1}=5\Leftrightarrow x-1=25\Leftrightarrow x=26\quad \text{(tha\ mãn\ ĐKXĐ)}$Với $B = 1$:$\sqrt{y+2}=1\Leftrightarrow y+2=1\Leftrightarrow y=-1\quad \text{(tha\ mãn\ ĐKXĐ)}$Kết luận:Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (26; -1)$.

<p>Giúp mình với!</p>