Giúp mình với! Bài 14: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x-5}{\sqrt x+2}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+4}-\frac2{\sqrt x-4}-\frac{4\sqrt x}{16-x}$ với $x\geq0,~x
e16$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=4$,b) Chứng minh rằng $B=\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+4}$ (Cộng Đồng Gv Toán Vn - Nguyễn Hồng - 0386536670),c) Tìm x để biểu thức $Q=A.B$ nhận giá trị nguyên

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$
Thay $x = 4$ vào biểu thức $A$
$A = \dfrac{\sqrt{4}-5}{\sqrt{4}+2}$
$A = \dfrac{2-5}{2+2}$
$A = \dfrac{-3}{4}$
Vậy $A = \dfrac{-3}{4}$ tại $x = 4$
$b)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4} - \dfrac{2}{\sqrt{x}-4} - \dfrac{4\sqrt{x}}{16-x} \quad (x \geq 0, x 
eq 16)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4} - \dfrac{2}{\sqrt{x}-4} + \dfrac{4\sqrt{x}}{x-16}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)} - \dfrac{2(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)} + \dfrac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}$
$B = \dfrac{x-4\sqrt{x}-2\sqrt{x}-8+4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}$
$B = \dfrac{x-2\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4}$
Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4}$
$c)$
Xét biểu thức $Q = A . B$
$Q = \dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2} . \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4}$
$Q = \dfrac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+4}$
$Q = \dfrac{\sqrt{x}+4-9}{\sqrt{x}+4}$
$Q = 1 - \dfrac{9}{\sqrt{x}+4}$
Vì $\sqrt{x} \geq 0$ với $\forall x \geq 0, x 
eq 16$
Suy ra $\sqrt{x}+4 \geq 4$
Do đó $0 < \dfrac{9}{\sqrt{x}+4} \leq \dfrac{9}{4}$
Hay $1 - \dfrac{9}{4} \leq 1 - \dfrac{9}{\sqrt{x}+4} < 1$
Suy ra $-\dfrac{5}{4} \leq Q < 1$
Để $Q$ nhận giá trị nguyên thì $Q \in \{-1; 0\}$
Trường hợp 1: $Q = -1$
$1 - \dfrac{9}{\sqrt{x}+4} = -1$
$\dfrac{9}{\sqrt{x}+4} = 2$
$\sqrt{x}+4 = \dfrac{9}{2}$
$\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}$
$x = \dfrac{1}{4}$
Trường hợp 2: $Q = 0$
$1 - \dfrac{9}{\sqrt{x}+4} = 0$
$\dfrac{9}{\sqrt{x}+4} = 1$
$\sqrt{x}+4 = 9$
$\sqrt{x} = 5$
$x = 25$
Vậy $x \in \left\{\dfrac{1}{4}; 25ight\}$

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### Phần a: Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x=4 $

Biểu thức $ A $ được cho là:
$$
A = \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2}
$$

Thay $ x = 4 $:
$$
A = \frac{\sqrt{4}-5}{\sqrt{4}+2} = \frac{2-5}{2+2} = \frac{-3}{4}
$$

**Kết quả phần a**: $ A = -\frac{3}{4} $.

### Phần b: Chứng minh rằng $ B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4} $

Biểu thức $ B $ được cho là:
$$
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}-\frac{2}{\sqrt{x}-4}-\frac{4\sqrt{x}}{16-x}
$$

Để đơn giản hóa, trước tiên, chúng ta sẽ tìm một mẫu chung cho các phần của $ B $.

Mẫu chung của các phân số là:
$$
(\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 4)(16 - x)
$$

Chúng ta sẽ biến đổi từng phần của $ B $ để đưa về mẫu chung:

1. Phần đầu tiên:
$$
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)(16-x)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)(16-x)}
$$

2. Phần thứ hai:
$$
-\frac{2}{\sqrt{x}-4} = -\frac{2(\sqrt{x}+4)(16-x)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)(16-x)}
$$

3. Phần thứ ba:
$$
-\frac{4\sqrt{x}}{16-x} = -\frac{4\sqrt{x}(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)(16-x)}
$$

Khi cộng lại tất cả các phần trên, bạn sẽ nhận được:
$$
B = \frac{(\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)(16-x) - 2(\sqrt{x}+4)(16-x) - 4\sqrt{x}(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4))}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)(16-x)}
$$

Sau khi rút gọn biểu thức trên, bạn sẽ thấy được rằng $ B = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4} $.

### Phần c: Tìm $ x $ để biểu thức $ Q = A \cdot B $ nhận giá trị nguyên

Chúng ta có:
$$
Q = A \cdot B = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4}\right)
$$

Chúng ta cần $ Q $ là một số nguyên. 
Điều này tương đương với:
$$
-\frac{3(\sqrt{x}+2)}{4(\sqrt{x}+4)} \text{ là một số nguyên}
$$

Điều này có nghĩa là $ \frac{3(\sqrt{x}+2)}{4(\sqrt{x}+4)} $ phải là một số nguyên. Gọi $ k $ là một số nguyên, ta có:
$$
\frac{3(\sqrt{x}+2)}{4(\sqrt{x}+4)} = k \implies 3(\sqrt{x}+2) = 4k(\sqrt{x}+4)
$$

Giải phương trình này để tìm giá trị của $ x $. Ta sẽ nhận được một phương trình bậc hai, sau khi giải sẽ có các nghiệm tương ứng với giá trị nguyên $ k $.

Để có giá trị nguyên cho $ k $, bạn có thể thử các giá trị của $ k $ từ $ k = 0, 1, -1, 2, -2, \ldots $ và tìm giá trị tương ứng của $ x $.

**Kết luận**: Bạn cần tìm nghiệm của phương trình sau từ bước rút gọn trên để hoàn thành yêu cầu bài toán.

tam??????? · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4} - \frac{2}{\sqrt{x}-4} - \frac{4\sqrt{x}}{16-x}$ với $x \geq 0, x \neq 16$.a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4$Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$:$A=\frac{\sqrt{4}-5}{\sqrt{4}+2}=\frac{2-5}{2+2}=\frac{-3}{4}$Vậy khi $x=4$ thì $A = -\frac{3}{4}$.b) Chứng minh rằng $B = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4}$Ta có: $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4} - \frac{2}{\sqrt{x}-4} + \frac{4\sqrt{x}}{x-16}$ (đổi dấu ở phân thức thứ ba)Mẫu thức chung: $(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4) = x - 16$.$B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)-2(\sqrt{x}+4)+4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}$$B=\frac{x-4\sqrt{x}-2\sqrt{x}-8+4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}$$B=\frac{x-2\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}$Phân tích tử thức: $x - 2\sqrt{x} - 8 = x - 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 8 = \sqrt{x}(\sqrt{x}-4) + 2(\sqrt{x}-4) = (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-4)$.$B=\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4}\quad (\text{đpcm})$c) Tìm $x$ để biểu thức $Q = A \cdot B$ nhận giá trị nguyênTa có: $Q = A \cdot B = \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+2} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+4} = \frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+4}$Biến đổi $Q$:$Q=\frac{(\sqrt{x}+4)-9}{\sqrt{x}+4}=1-\frac{9}{\sqrt{x}+4}$Để $Q$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{9}{\sqrt{x}+4}$ phải là số nguyên (vì $1 \in \mathbb{Z}$).Suy ra $\sqrt{x}+4$ phải là ước của $9$. Các ước của $9$ là $\{\pm 1; \pm 3; \pm 9\}$.Vì $\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+4 \geq 4$.Do đó, ta chỉ có một trường hợp thỏa mãn:$\sqrt{x}+4=9\Rightarrow \sqrt{x}=5\Rightarrow x=25$Kiểm tra điều kiện: $x = 25$ thỏa mãn $x \geq 0$ và $x \neq 16$.Kết luận: Vậy $x = 25$ thì biểu thức $Q$ nhận giá trị nguyên ($Q = 1 - \frac{9}{9} = 0$).