Giúp mình với!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một. ### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 25 \) Biểu thức \( A \) được cho là: \[ A = \frac{9}{\sqrt{x} - 2} \] Khi \( x = 25 \), ta có: \[ \sqrt{25} = 5 \] Vậy: \[ A = \frac{9}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3 \] **Kết quả:** \[ A = 3 \] ### b) Chứng minh rằng \( B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \) Biểu thức \( B \) là: \[ B = \frac{x + 16}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{5}{\sqrt{x} - 2} \] Trước tiên, ta biến đổi từng phần trong biểu thức \( B \). 1. **Biến đổi \( \frac{x + 16}{x - 4} \)**: Ta có \( x = (\sqrt{x})^2 \), từ đó: \[ \frac{x + 16}{x - 4} = \frac{(\sqrt{x})^2 + 16}{(\sqrt{x})^2 - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) + 16}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) + 16}{(\sqrt{x})^2 - 4} \] Khi đó, ta phân tích như sau: \[ x + 16 = (\sqrt{x})^2 + 16 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) + 16 = \sqrt{x}^2 - 4 + 16 = \sqrt{x}^2 + 12 \] Như vậy, \[ \frac{x + 16}{x - 4} = 1 + \frac{12}{x - 4} \] 2. **Tính phần còn lại**: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{5}{\sqrt{x} - 2} \] Để thực hiện phép trừ này, ta cần tìm mẫu chung: \[ \frac{(\sqrt{x} - 2) - 5(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 2 - 5\sqrt{x} - 10}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] \[ = \frac{-4\sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Cuối cùng, gộp lại các phần của \( B \): \[ B = 1 + \frac{12}{x - 4} + \frac{-4\sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \] Rút gọn lại, ta thấy: \[ B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \] **Kết quả:** \[ B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \] ### c) Tìm \( x \) để biểu thức \( Q = A \cdot B \) có giá trị là số nguyên. Biểu thức \( Q \) là: \[ Q = A \cdot B = 3 \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{3(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 2} \] Để \( Q \) là số nguyên, ta đặt: \[ \frac{3(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 2} = k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Sắp xếp lại: \[ 3(\sqrt{x} - 2) = k(\sqrt{x} + 2) \] \[ 3\sqrt{x} - 6 = k\sqrt{x} + 2k \] \[ (3 - k)\sqrt{x} = 2k + 6 \] \[ \sqrt{x} = \frac{2k + 6}{3 - k} \] Bình phương hai vế: \[ x = \left(\frac{2k + 6}{3 - k}\right)^2 \] Ta tìm các giá trị \( k \) sao cho \( x \geq 0 \) và \( k \neq 3 \). **Giá trị của \( k \)** có thể là \( -1, 0, 1, 2, 4, 5, 6 \) và có thể kiểm tra các giá trị cụ thể để tìm \( x \) thỏa mãn điều kiện. - Với \( k = -1 \): \[ \sqrt{x} = \frac{2(-1) + 6}{3 - (-1)} = \frac{4}{4} = 1 \Rightarrow x = 1 \] - Với \( k = 0 \): \[ \sqrt{x} = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow x = 4 \] (bị loại vì \( x \neq 4 \)) - Với \( k = 1 \): \[ \sqrt{x} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \Rightarrow x = 16 \] - Với \( k = 2 \): \[ \sqrt{x} = \frac{4 + 6}{1} = 10 \Rightarrow x = 100 \] - Với \( k = 4 \): \[ \sqrt{x} = \frac{8 + 6}{-1} = -14 \text{ (loại)} \] - Với \( k = 5 \): \[ \sqrt{x} = \frac{10 + 6}{-2} = -8 \text{ (loại)} \] - Với \( k = 6 \): \[ \sqrt{x} = \frac{12 + 6}{-3} = -6 \text{ (loại)} \] **Các giá trị khả thi của \( x \) là:** \[ x = 1, 16, 100 \] ### Kết luận Các giá trị \( x \) để biểu thức \( Q = A \cdot B \) có giá trị là số nguyên là: \[ x = 1, 16, 100 \]