Giúp mình với! Bài 21: Cho hai biểu thức $A=\frac7{\sqrt x+8}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-3}+\frac2{\sqrt x+3}-\frac{18}{x-9}$ với $x\geq0,~x
e9$,a) Tính giá trị của A khi x= 25,b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt x+8}{\sqrt x+3}$,c),Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức M = A.B có giá trị là số nguyên.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$
Thay $x = 25$ vào biểu thức $A$
$A = \dfrac{7}{\sqrt{25}+8}$
$A = \dfrac{7}{5+8}$
$A = \dfrac{7}{13}$
Vậy $A = \dfrac{7}{13}$ tại $x = 25$
$b)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} + \dfrac{2}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{18}{x-9} \quad (x \geq 0, x 
eq 9)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} + \dfrac{2(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} - \dfrac{18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6-18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x+5\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+8)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$
Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$
$c)$
Xét biểu thức $M = A . B$
$M = \dfrac{7}{\sqrt{x}+8} . \dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}$
$M = \dfrac{7}{\sqrt{x}+3}$
Vì $\sqrt{x} \geq 0$ với $\forall x \geq 0, x 
eq 9$
Suy ra $\sqrt{x}+3 \geq 3$
Do đó $0 < M \leq \dfrac{7}{3}$
Để $M$ có giá trị là số nguyên thì $M \in \{1; 2\}$
Trường hợp 1: $M = 1$
$\dfrac{7}{\sqrt{x}+3} = 1$
$\sqrt{x}+3 = 7$
$\sqrt{x} = 4$
$x = 16$
Trường hợp 2: $M = 2$
$\dfrac{7}{\sqrt{x}+3} = 2$
$\sqrt{x}+3 = \dfrac{7}{2}$
$\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}$
$x = \dfrac{1}{4}$
Vậy $x \in \left\{16; \dfrac{1}{4}ight\}$

Timi · Answer

a) Để tính giá trị của $ A $ khi $ x = 25 $:

$$
A = \frac{7}{\sqrt{x} + 8}
$$
Thay $ x = 25 $:

$$
A = \frac{7}{\sqrt{25} + 8} = \frac{7}{5 + 8} = \frac{7}{13}
$$

Vậy giá trị của $ A $ khi $ x = 25 $ là $ \frac{7}{13} $.

b) Để chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} $:

Biểu thức $ B $ được cho là:

$$
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{18}{x - 9}
$$

Trước tiên, ta phân tích từng phần:

1. **Đối với $ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} $**, ta đưa về mẫu chung:
   $$
   = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{x + 3\sqrt{x}}{x - 9}
   $$

2. **Đối với $ \frac{2}{\sqrt{x} + 3} $**, ta cũng cần đưa về mẫu chung:
   $$
   = \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)} = \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 9}
   $$

3. **Đối với $ -\frac{18}{x - 9} $**, ta giữ nguyên.

Bây giờ, ghép ba phần lại với nhau:
$$
B = \frac{x + 3\sqrt{x}}{x - 9} + \frac{2\sqrt{x} - 6}{x - 9} - \frac{18}{x - 9}
$$
Tổng hợp lại:
$$
B = \frac{x + 3\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 6 - 18}{x - 9} = \frac{x + 5\sqrt{x} - 24}{x - 9}
$$

Bây giờ, để chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} $:
Thực hiện phép biến đổi mẫu:
$$
= \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 8)}{\sqrt{x} + 3}
$$

Khi thực hiện phép chia, ta sẽ thấy biểu thức có thể tương đương.

Cuối cùng, ta tìm giá trị của $ B $:
$$
= \frac{(x - 9) + 24}{\sqrt{x} + 3} = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3}
$$
Như vậy, ta đã chứng minh $ B = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} $.

c) Tìm tất cả các giá trị của $ x $ để $ M = A \cdot B $ có giá trị là số nguyên.

Ta có:

$$
M = A \cdot B = \frac{7}{\sqrt{x} + 8} \cdot \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} = \frac{7}{\sqrt{x} + 3}
$$

Ta cần $ \frac{7}{\sqrt{x} + 3} $ là số nguyên. Gọi $ k = \frac{7}{\sqrt{x} + 3} $, từ đó:

$$
\sqrt{x} + 3 = \frac{7}{k} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{7}{k} - 3
$$

Để $ \sqrt{x} \geq 0 $:
$$
\frac{7}{k} - 3 \geq 0 \Rightarrow \frac{7}{k} \geq 3 \Rightarrow k \leq \frac{7}{3}
$$

Khi $ k $ là số nguyên, các giá trị khả thi của $ k $ là 1, 2, và 3.
- Với $ k = 1 $:
  $$
  \sqrt{x} + 3 = 7 \Rightarrow \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16
  $$
- Với $ k = 2 $:
  $$
  \sqrt{x} + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}
  $$
- Với $ k = 3 $:
  $$
  \sqrt{x} + 3 = \frac{7}{3} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{7}{3} - 3 = \frac{-2}{3} \text{ (không khả thi)}
  $$

Như vậy, các giá trị của $ x $ để $ M $ là số nguyên là $ x = 16 $ và $ x = \frac{1}{4} $.

Vu Nguyen · Answer

a) Với $x=25 \Rightarrow \sqrt{x}=5$:

$\displaystyle A=\frac{7}{\sqrt{x}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}.$

b) $\displaystyle B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}-\frac{18}{x-9}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)+2(\sqrt{x}-3)-18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$\displaystyle =\frac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6-18}{x-9}=\frac{x+5\sqrt{x}-24}{x-9}$

$\displaystyle =\frac{(\sqrt{x}+8)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}.$

c) $\displaystyle M=A\cdot B=\frac{7}{\sqrt{x}+8}\cdot \frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}=\frac{7}{\sqrt{x}+3}.$

Để $M\in\mathbb Z$ thì $\sqrt{x}+3$ là ước nguyên dương của $7$.
Vì $x\ge0\Rightarrow \sqrt{x}+3\ge3$, nên chỉ có:

$\displaystyle \sqrt{x}+3=7 \Rightarrow \sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16.$

Vậy $\boxed{x=16}.$

tam??????? · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

Cho hai biểu thức $A = \frac{7}{\sqrt{x} + 8}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{18}{x - 9}$ với $x \geq 0, x \neq 9$.a) Tính giá trị của $A$ khi $x = 25$Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:$A=\frac{7}{\sqrt{25}+8}=\frac{7}{5+8}=\frac{7}{13}$Vậy khi $x = 25$ thì $A = \frac{7}{13}$.b) Chứng minh $B = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3}$Ta có mẫu thức chung là $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$.$B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)+2(\sqrt{x}-3)-18}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$$B=\frac{x+3\sqrt{x}+2\sqrt{x}-6-18}{x-9}$$B=\frac{x+5\sqrt{x}-24}{x-9}$Phân tích tử thức thành nhân tử: $x + 5\sqrt{x} - 24 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 8)$.$B=\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+8)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}\quad (\text{đpcm})$c) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $M = A \cdot B$ có giá trị là số nguyênTa có biểu thức $M$:$M=A\cdot B=\frac{7}{\sqrt{x}+8}\cdot \frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}=\frac{7}{\sqrt{x}+3}$Để $M$ nhận giá trị nguyên, vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3$, nên $M$ chỉ có thể nhận các giá trị nguyên dương.Mặt khác, $M = \frac{7}{\sqrt{x} + 3} \leq \frac{7}{3} \approx 2,33$.Do đó, $M$ có thể bằng $1$ hoặc $2$.Trường hợp 1: $M = 1$$\frac{7}{\sqrt{x}+3}=1\Rightarrow \sqrt{x}+3=7\Rightarrow \sqrt{x}=4\Rightarrow x=16\text{\ (tha\ mãn)}$Trường hợp 2: $M = 2$$\frac{7}{\sqrt{x}+3}=2\Rightarrow \sqrt{x}+3=3,5\Rightarrow \sqrt{x}=0,5\Rightarrow x=0,25\text{\ (tha\ mãn)}$Vậy để $M$ là số nguyên thì $x \in \{16; 0,25\}$.