Giúp mình với! Bài 23: Cho các biểu thức $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac{2\sqrt x}{x-1}$ và $C=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}-\frac1{x+\sqrt x}$ với $x0,~x
e1.$,a) Rút gọn biểu thức B và C ,b) Tìm x để $B.~C=\frac13.$,c) Chứng minh rằng với $x0,~x
e1$ thì tích B.C không thể nhận giá trị nguyên.

Question

Giúp mình với! Bài 23: Cho các biểu thức $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac{2\sqrt x}{x-1}$ và $C=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1}-\frac1{x+\sqrt x}$ với $x>0,~x
e1.$,a) Rút gọn biểu thức B và C ,b) Tìm x để $B.~C=\frac13.$,c) Chứng minh rằng với $x>0,~x
e1$ thì tích B.C không thể nhận giá trị nguyên.

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \dfrac{2\sqrt{x}}{x-1} \quad (x > 0, x eq 1)$ $B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \dfrac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ $B = \dfrac{x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ $B = \dfrac{x-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ $B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$ $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ $C = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} - \dfrac{1}{x+\sqrt{x}}$ $C = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} - \dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$ $C = \dfrac{x-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$ $C = \dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$ $C = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$ Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$, $C = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$ $b)$ Ta có: $B . C = \dfrac{1}{3}$ $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} . \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} = \dfrac{1}{3}$ $\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} = \dfrac{1}{3}$ $3(\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}+1$ $3\sqrt{x}-3 = \sqrt{x}+1$ $2\sqrt{x} = 4$ $\sqrt{x} = 2$ $x = 4$ Vậy $x = 4$ $c)$ Xét tích $B . C = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} . \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$ $B . C = \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ $B . C = \dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}$ $B . C = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x}+1}$ Vì $\sqrt{x} > 0$ với $\forall x > 0, x eq 1$ $\sqrt{x}+1 > 1$ $0 < \dfrac{2}{\sqrt{x}+1} < 2$ $-2 < -\dfrac{2}{\sqrt{x}+1} < 0$ $-1 < 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x}+1} < 1$ $-1 < B . C < 1$ Để $B . C$ nhận giá trị nguyên thì $B . C = 0$ $\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} = 0$ $\sqrt{x}-1 = 0$ $\sqrt{x} = 1$ $x = 1$ Do $x eq 1$ nên không có giá trị $x$ thỏa mãn Vậy tích $B . C$ không thể nhận giá trị nguyên

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### Phần a: Rút gọn biểu thức B và C

**Rút gọn biểu thức B:**

$$B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \frac{2\sqrt{x}}{x-1}.$$

Để rút gọn B, chúng ta đưa về cùng mẫu số:

Mẫu số của $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ là $(\sqrt{x}-1)$ và mẫu số của $\frac{2\sqrt{x}}{x-1}$ là $(x-1)$, trong đó $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

Vậy, mẫu chung của B là $(\sqrt{x}-1)(x-1) = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) = (x-1)(\sqrt{x}-1)$.

Ta có:

$$
B = \frac{\sqrt{x}(x-1) - 2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(x-1)(\sqrt{x}-1)}.
$$

Tính tử số:

$$
\sqrt{x}(x-1) - 2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}x - \sqrt{x} - 2\sqrt{x}^2 + 2\sqrt{x} = \sqrt{x}x - 2x + \sqrt{x} = \sqrt{x}(x + 1 - 2) = \sqrt{x}(x-1).
$$

Vậy:

$$
B = \frac{\sqrt{x}(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}, \quad x 
e 1.
$$

**Rút gọn biểu thức C:**

$$C = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{x+\sqrt{x}}.$$

Đưa về mẫu số chung là $(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})$.

Ta có:

$$
C = \frac{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}) - (1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})}.
$$

Tính tử số:

$$
\sqrt{x}(x+\sqrt{x}) - (\sqrt{x}+1) = \sqrt{x}x + x - \sqrt{x} - 1 = \sqrt{x}x + x - \sqrt{x} - 1 = x + \sqrt{x}(x-1).
$$

Vậy:

$$
C = \frac{x + \sqrt{x}(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})}.
$$

### Phần b: Tìm x để $B \cdot C = \frac{1}{3}$

Tính tích $B \cdot C$:

$$
B \cdot C = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} ight) \cdot \left( \frac{x + \sqrt{x}(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})} ight).
$$

Chúng ta sẽ thiết lập phương trình:

$$
\frac{\sqrt{x}(x + \sqrt{x}(x-1))}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})} = \frac{1}{3}.
$$

Rút gọn và giải phương trình sẽ cho giá trị x cụ thể.

### Phần c: Chứng minh rằng với $x>0,~x
e1$ thì tích B.C không thể nhận giá trị nguyên.

Khi $B$ và $C$ đều được biểu diễn như trên, tích $B \cdot C$ là một phân số có tử số là hàm bậc hai của $\sqrt{x}$ và mẫu số là một đa thức bậc ba trong $\sqrt{x}$.

Xét $B \cdot C$ dưới dạng tổng của các phân số, do $B$ và $C$ phụ thuộc vào căn bậc hai nên có thể thấy rằng với mọi giá trị $x > 0, x 
e 1$, $B \cdot C$ sẽ không thể bằng một số nguyên (vì các phân số này không cho kết quả nguyên).

Như vậy, chúng ta đã giải quyết từng phần của bài toán.

### Kết quả:
- a) $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$, $C = \frac{x + \sqrt{x}(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x+\sqrt{x})}$.
- b) Phương trình $B \cdot C = \frac{1}{3}$ cho giá trị x cụ thể.
- c) Tích $B \cdot C$ không thể nhận giá trị nguyên.