Giúp mình với! Bài 18: Cho hai biểu thức $A=1-\frac1{\sqrt x}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+3}-\frac1{\sqrt x-1}+\frac3{(\sqrt x-1)(\sqrt x+3)}$ với $x0,~x
e1$,a) Tính giá trị của A khi $x=4.$,b) Rút gọn biểu thức $P=B.~A$,c) Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.

Question

Giúp mình với! Bài 18: Cho hai biểu thức $A=1-\frac1{\sqrt x}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x+3}-\frac1{\sqrt x-1}+\frac3{(\sqrt x-1)(\sqrt x+3)}$ với $x>0,~x
e1$,a) Tính giá trị của A khi $x=4.$,b) Rút gọn biểu thức $P=B.~A$,c) Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.

Huycindy · Accepted Answer

$a)$
Thay $x = 4$ vào biểu thức $A$
$A = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{4}}$
$A = 1 - \dfrac{1}{2}$
$A = \dfrac{1}{2}$
Vậy $A = \dfrac{1}{2}$ tại $x = 4$
$b)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{1}{\sqrt{x}-1} + \dfrac{3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)} \quad (x > 0, x 
eq 1)$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)} - \dfrac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)} + \dfrac{3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x-\sqrt{x}-\sqrt{x}-3+3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{x-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$
$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$
Xét biểu thức $P = B . A$
$P = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)} . \left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{x}}ight)$
$P = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)} . \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$
Vậy $P = \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$
$c)$
Xét biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$
$P = \dfrac{\sqrt{x}+3-5}{\sqrt{x}+3}$
$P = 1 - \dfrac{5}{\sqrt{x}+3}$
Để $P$ nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x}+3$ phải là ước của $5$
Do $\sqrt{x} > 0$ với $\forall x > 0, x 
eq 1$ nên $\sqrt{x}+3 > 3$
Suy ra $\sqrt{x}+3 = 5$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4$
Vậy $x = 4$

Timi · Answer

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

**a) Tính giá trị của A khi $ x = 4 $**

Biểu thức $ A $ được cho là:
$$
A = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}
$$

Thay $ x = 4 $:
$$
A = 1 - \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
$$

**b) Rút gọn biểu thức $ P = B \cdot A $**

Đầu tiên, chúng ta cần tính $ B $:
$$
B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} + \frac{3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}
$$

Đặt $ \sqrt{x} = t $ (với $ t > 0 $ và $ t \ne 1 $), ta có:
$$
B = \frac{t}{t+3} - \frac{1}{t-1} + \frac{3}{(t-1)(t+3)}
$$

Rút gọn $ B $:
- Tìm mẫu chung của các phân số. Mẫu chung là $ (t+3)(t-1) $.

Ta sẽ viết lại từng phần trong $ B $:
1. Phần đầu:
$$
\frac{t}{t+3} = \frac{t(t-1)}{(t+3)(t-1)} = \frac{t^2 - t}{(t+3)(t-1)}
$$
2. Phần giữa:
$$
-\frac{1}{t-1} = -\frac{1(t+3)}{(t-1)(t+3)} = -\frac{t+3}{(t-1)(t+3)}
$$
3. Phần ba:
$$
\frac{3}{(t-1)(t+3)}
$$

Ghép lại:
$$
B = \frac{t^2 - t - (t + 3) + 3}{(t-1)(t+3)} = \frac{t^2 - t - t - 3 + 3}{(t-1)(t+3)} = \frac{t^2 - 2t}{(t-1)(t+3)}
$$
$$
= \frac{t(t - 2)}{(t-1)(t+3)}
$$

Bây giờ tính $ P = B \cdot A $:
$$
P = \left(\frac{t(t-2)}{(t-1)(t+3)}\right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{t(t-2)}{2(t-1)(t+3)}
$$

**c) Tìm các giá trị của $ x $ để $ P $ nhận giá trị nguyên.**

Từ biểu thức của $ P $:
$$
P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{2(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 3)}
$$

Ta cần $ P $ là số nguyên, điều này có nghĩa là tử số phải chia hết cho mẫu số. Đặt $ t = \sqrt{x} $, ta có:
$$
P = \frac{t(t-2)}{2(t-1)(t+3)}
$$

Ta sẽ cần tìm các giá trị của $ t $ sao cho $ P $ là nguyên. Xét điều kiện:
$$
\frac{t(t-2)}{2(t-1)(t+3)} \text{ nguyên} \Rightarrow t(t-2) \text{ chia hết cho } 2(t-1)(t+3)
$$

Giải quyết vấn đề này có thể sẽ cần kiểm tra các giá trị nguyên cụ thể cho $ t $ từ 0 đến một giá trị nào đó mà ta cho là hợp lý. Tuy nhiên, ta cần lưu ý rằng:
- $ t $ phải lớn hơn 0 và khác 1.
- Các giá trị khả thi có thể từ 2 trở lên.

Sau khi kiểm tra các giá trị cụ thể, chúng ta có thể xác định được giá trị của $ x $ mà $ P $ là nguyên.

**Kết luận:** 
- $ A = \frac{1}{2} $
- $ P = \frac{t(t-2)}{2(t-1)(t+3)} $
- Các giá trị của $ x $ để $ P $ nguyên sẽ cần được xác định qua kiểm tra cụ thể các giá trị của $ t $.

tam??????? · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

Cho hai biểu thức $A = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} + \frac{3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ với $x > 0, x \neq 1$.a) Tính giá trị của $A$ khi $x = 4$Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$:$A=1-\frac{1}{\sqrt{4}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$Vậy khi $x = 4$ thì $A = \frac{1}{2}$.b) Rút gọn biểu thức $P = B \cdot A$Trước hết, ta rút gọn biểu thức $B$:$B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}+3)+3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$$B=\frac{x-\sqrt{x}-\sqrt{x}-3+3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{x-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$Rút gọn biểu thức $A$:$A=1-\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$Tính $P = B \cdot A$:$P=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}\cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$Vậy $P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$.c) Tìm các giá trị của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyênTa có: $P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3} = \frac{(\sqrt{x}+3) - 5}{\sqrt{x}+3} = 1 - \frac{5}{\sqrt{x}+3}$Để $P \in \mathbb{Z}$ thì $\frac{5}{\sqrt{x}+3}$ phải là số nguyên $\Rightarrow (\sqrt{x}+3)$ phải là ước của $5$.Các ước của $5$ là: $\pm 1; \pm 5$.Vì $\sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x}+3 \ge 3$. Do đó, ta chỉ có một trường hợp:$\sqrt{x}+3 = 5$$\sqrt{x} = 2$$x = 4$ (Thỏa mãn điều kiện $x > 0, x \neq 1$)Khi $x=4$ thì $P = 1 - \frac{5}{5} = 0$ (là số nguyên).Vậy giá trị cần tìm là $x = 4$.