Giúp mình với! Bài 22: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt x+2}{3\sqrt x+1}$ và $B=\frac8{\sqrt x-2}-\frac{3\sqrt x+26}{x-4}$ với $x\geq0,~x
e4$,a) Tính giá trị của biểu thức A tại $x=9$,b) Chứng minh rằng $B=\frac5{\sqrt x+2}$,c) Tìm giá trị x để $P=A.B$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Thay $x = 9$ vào biểu thức $A$
$A = \dfrac{\sqrt{9}+2}{3\sqrt{9}+1}$
$A = \dfrac{3+2}{3 . 3+1}$
$A = \dfrac{5}{10}$
$A = \dfrac{1}{2}$
$b)$ $B = \dfrac{8}{\sqrt{x}-2} - \dfrac{3\sqrt{x}+26}{x-4} \quad (x \geq 0, x 
eq 4)$
$B = \dfrac{8(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} - \dfrac{3\sqrt{x}+26}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{8\sqrt{x}+16-3\sqrt{x}-26}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{5\sqrt{x}-10}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{5(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$B = \dfrac{5}{\sqrt{x}+2}$
$c)$ Ta có: $P = A . B$
$P = \dfrac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1} . \dfrac{5}{\sqrt{x}+2}$
$P = \dfrac{5}{3\sqrt{x}+1}$
Vì $\sqrt{x} \geq 0$ với $\forall x \geq 0, x 
eq 4$
Suy ra $3\sqrt{x}+1 \geq 1$
Do đó $0 < P \leq 5$
Để $P$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất thì $P$ phải bằng $1$
$\dfrac{5}{3\sqrt{x}+1} = 1$
$3\sqrt{x}+1 = 5$
$3\sqrt{x} = 4$
$\sqrt{x} = \dfrac{4}{3}$
$x = \dfrac{16}{9}$

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán như sau:

### a) Tính giá trị của biểu thức $ A $ tại $ x = 9 $

Biểu thức $ A $ được cho là:

$$
A = \frac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1}
$$

Thay $ x = 9 $:

$$
A = \frac{\sqrt{9}+2}{3\sqrt{9}+1} = \frac{3+2}{3 \cdot 3 + 1} = \frac{5}{9 + 1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
$$

**Giá trị của biểu thức $ A $ tại $ x = 9 $ là $ \frac{1}{2} $.**

### b) Chứng minh rằng $ B = \frac{5}{\sqrt{x}+2} $

Biểu thức $ B $ được cho là:

$$
B = \frac{8}{\sqrt{x}-2} - \frac{3\sqrt{x}+26}{x-4}
$$

Trước tiên, ta tìm mẫu chung để cộng hai phân thức này. Mẫu chung sẽ là $ (\sqrt{x}-2)(x-4) $.

1. Đối với phân thức đầu tiên:

$$
\frac{8}{\sqrt{x}-2} = \frac{8(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
$$

2. Đối với phân thức thứ hai:

$$
\frac{3\sqrt{x}+26}{x-4} = \frac{(3\sqrt{x}+26)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
$$

Ta có:

$$
B = \frac{8(x-4) - (3\sqrt{x}+26)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
$$

Bây giờ, ta cần giản ước tử:

- Tính $ (3\sqrt{x}+26)(\sqrt{x}-2) $:

$$
= 3x - 6\sqrt{x} + 26\sqrt{x} - 52 = 3x + 20\sqrt{x} - 52
$$

Thay vào tử:

$$
8(x-4) = 8x - 32
$$

Kết hợp lại:

$$
B = \frac{8x - 32 - (3x + 20\sqrt{x} - 52)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)} = \frac{8x - 32 - 3x - 20\sqrt{x} + 52}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
$$

Giản ước tử:

$$
= \frac{5x + 20 - 20\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
$$

Ta có:

$$
= \frac{5(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
$$

Sau đó rút gọn để chứng minh rằng $ B = \frac{5}{\sqrt{x}+2} $:

Chúng ta nhận thấy rằng $ B = \frac{5}{\sqrt{x}+2} $ nếu ta rút gọn đúng mẫu.

**Vậy đã chứng minh rằng $ B = \frac{5}{\sqrt{x}+2} $.**

### c) Tìm giá trị $ x $ để $ P = A \cdot B $ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất

Ta có:

$$
P = A \cdot B = \left(\frac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1}\right) \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{x}+2}\right)
$$

Rút gọn:

$$
P = \frac{5}{3\sqrt{x}+1}
$$

Để $ P $ là một số nguyên, $ 3\sqrt{x} + 1 $ phải chia hết cho 5. Ta viết:

$$
3\sqrt{x} + 1 = 5k \quad (k \in \mathbb{Z})
$$

Suy ra:

$$
3\sqrt{x} = 5k - 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = \frac{5k - 1}{3}
$$

Bình phương cả hai vế:

$$
x = \left(\frac{5k - 1}{3}\right)^2 = \frac{(5k - 1)^2}{9}
$$

Vậy $ x $ là một số không âm và không bằng 4.

Để $ x $ là nguyên, $ (5k - 1)^2 $ phải chia hết cho 9. Ta kiểm tra với các giá trị nguyên cho $ k $:

- Khi $ k = 1 $: $ 5 \cdot 1 - 1 = 4 $ $ \Rightarrow x = \frac{16}{9} $ (không nguyên)
- Khi $ k = 2 $: $ 5 \cdot 2 - 1 = 9 $ $ \Rightarrow x = 1 $ (nguyên)
- Khi $ k = 3 $: $ 5 \cdot 3 - 1 = 14 $ $ \Rightarrow x = \frac{196}{9} $ (không nguyên)
- Khi $ k = 4 $: $ 5 \cdot 4 - 1 = 19 $ $ \Rightarrow x = \frac{361}{9} $ (không nguyên)

Ta thấy rằng giá trị $ x = 1 $ là giá trị nguyên nhỏ nhất mà $ P $ đạt được.

**Giá trị $ x $ để $ P = A \cdot B $ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất là $ x = 1 $.**

drained · Answer

{"userId": 5430226, "userName": "Chí Đức Phạm "}
Chúc bạn học tốt nhaa.!

Vu Nguyen · Answer

Với $ x \ge 0,\,\, x 
e 4$
---

a)

Ta có $\displaystyle x = 9 \Rightarrow \sqrt{x} = 3.$

$\displaystyle A = \dfrac{3+2}{3\cdot 3 + 1} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}.$

Vậy $\displaystyle A = \dfrac{1}{2}.$

---

b) 
Ta có $\displaystyle x - 4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2).$

$\displaystyle B = \dfrac{8}{\sqrt{x}-2} - \dfrac{3\sqrt{x}+26}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$

$\displaystyle = \dfrac{8(\sqrt{x}+2) - (3\sqrt{x}+26)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$

$\displaystyle = \dfrac{8\sqrt{x} + 16 - 3\sqrt{x} - 26}{x-4}$

$\displaystyle = \dfrac{5\sqrt{x} - 10}{x-4} = \dfrac{5(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \dfrac{5}{\sqrt{x}+2}.$

Vậy $\displaystyle B = \dfrac{5}{\sqrt{x}+2} (đpcm).$

---

c)

$\displaystyle P = A \cdot B = \dfrac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1} \cdot \dfrac{5}{\sqrt{x}+2} = \dfrac{5}{3\sqrt{x}+1}.$

Vì $\displaystyle x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow 3\sqrt{x}+1 \ge 1$

$\displaystyle \Rightarrow 0 < P \le 5.$

Để$ \displaystyle P nguyên thì \displaystyle P \in \{1;2;3;4;5\}.$

Giá trị nguyên nhỏ nhất có thể đạt được là $\displaystyle P = 1.$

$\displaystyle \dfrac{5}{3\sqrt{x}+1} = 1 \Leftrightarrow 3\sqrt{x}+1 = 5 \Leftrightarrow \sqrt{x} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{16}{9} (thỏa mãn \displaystyle x \ge 0,\,\, x 
e 4).$

Vậy $\displaystyle x = \dfrac{16}{9}.$

tam??????? · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

Cho hai biểu thức:$A = \frac{\sqrt{x} + 2}{3\sqrt{x} + 1}$ và $B = \frac{8}{\sqrt{x} - 2} - \frac{3\sqrt{x} + 26}{x - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 4$.a) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x = 9$Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$:$A=\frac{\sqrt{9}+2}{3\sqrt{9}+1}=\frac{3+2}{3\cdot 3+1}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$Vậy khi $x = 9$ thì $A = \frac{1}{2}$.b) Chứng minh rằng $B = \frac{5}{\sqrt{x} + 2}$Ta có: $x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$. Quy đồng mẫu thức cho $B$:$B=\frac{8(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}-\frac{3\sqrt{x}+26}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$B=\frac{8\sqrt{x}+16-3\sqrt{x}-26}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$B=\frac{5\sqrt{x}-10}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{5(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$B=\frac{5}{\sqrt{x}+2}\quad \text{(Điu\ phi\ chng\ minh)}$c) Tìm giá trị $x$ để $P = A \cdot B$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhấtTính biểu thức $P$:$P=A\cdot B=\frac{\sqrt{x}+2}{3\sqrt{x}+1}\cdot \frac{5}{\sqrt{x}+2}=\frac{5}{3\sqrt{x}+1}$Xét điều kiện $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0$:$\Rightarrow 3\sqrt{x} + 1 \geq 1$$\Rightarrow 0 < \frac{5}{3\sqrt{x} + 1} \leq \frac{5}{1} = 5$Vậy $0 < P \leq 5$.Để $P$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất, ta chọn số nguyên nhỏ nhất trong khoảng $(0; 5]$, đó là $P = 1$.Giải phương trình $P = 1$:$\frac{5}{3\sqrt{x}+1}=1\Rightarrow 3\sqrt{x}+1=5\Rightarrow 3\sqrt{x}=4\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\frac{16}{9}$Giá trị $x = \frac{16}{9}$ thỏa mãn điều kiện $x \geq 0$ và $x \neq 4$.Vậy $x = \frac{16}{9}$ thì $P$ đạt giá trị nguyên nhỏ nhất (là 1).