« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $10$
$...$ Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A hoặc B khi và chỉ khi sin $C=\cos A+\cos B.$

Question

tam??????? · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Biến đổi đẳng thứcTa có:$\sin C=\cos A+\cos B$Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích và góc bù ($A+B = 180^\circ - C$):Vế trái: $\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$Vế phải: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$Vì $A+B+C = 180^\circ \Rightarrow \frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$, nên:$\cos \frac{A+B}{2}=\cos (90^{\circ }-\frac{C}{2})=\sin \frac{C}{2}$Thay vào phương trình ban đầu:$2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}$Vì $\sin \frac{C}{2} \neq 0$ (do $0^\circ < C < 180^\circ$), ta chia cả hai vế cho $2 \sin \frac{C}{2}$:$\cos \frac{C}{2}=\cos \frac{A-B}{2}$Giải phương trìnhTừ $\cos \frac{C}{2} = \cos \frac{A-B}{2}$, với $\frac{C}{2}$ và $\frac{A-B}{2}$ là các góc trong tam giác, ta có hai trường hợp:Trường hợp 1:$\frac{C}{2}=\frac{A-B}{2}\Rightarrow C=A-B\Rightarrow A=B+C$Mà $A + B + C = 180^\circ \Rightarrow A + A = 180^\circ \Rightarrow \mathbf{A = 90^\circ}$ (Tam giác vuông tại $A$).Trường hợp 2:$\frac{C}{2}=-\frac{A-B}{2}\Rightarrow C=B-A\Rightarrow B=A+C$Mà $A + B + C = 180^\circ \Rightarrow B + B = 180^\circ \Rightarrow \mathbf{B = 90^\circ}$ (Tam giác vuông tại $B$).Kết luận: Vậy $\sin C = \cos A + \cos B$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ vuông tại $A$ hoặc $B$. (đpcm)

Timi · Answer

Để chứng minh rằng tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ hoặc $ B $ khi và chỉ khi $ \sin C = \cos A + \cos B $, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của các hàm lượng giác trong tam giác vuông và một số định lý liên quan.

1. **Điều kiện cần**: Giả sử tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ hoặc $ B $.

- Nếu tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $, thì theo định lý Pythagore ta có:
     $$
     AB^2 + AC^2 = BC^2.
     $$
     Từ định nghĩa về lượng giác, ta biết rằng:
     $$
     \sin C = \frac{AC}{BC}, \quad \cos A = \frac{AB}{BC}, \quad \cos B = \frac{AC}{BC}.
     $$
     Vậy ta có:
     $$
     \cos A + \cos B = \frac{AB}{BC} + \frac{AC}{BC} = \frac{AB + AC}{BC}.
     $$
     Do đó, ta cần chứng minh rằng:
     $$
     \sin C = \cos A + \cos B.
     $$
     Ta có:
     $$
     \sin C = \frac{AC}{BC} = \frac{AC + AB}{BC} = \cos A + \cos B.
     $$

- Nếu tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $, ta có phân tích tương tự và cũng sẽ dẫn đến:
     $$
     \sin C = \cos A + \cos B.
     $$

2. **Điều kiện đủ**: Giả sử $ \sin C = \cos A + \cos B $.

Ta có:
   $$
   \sin C = \cos A + \cos B.
   $$
   Từ mối quan hệ giữa các góc trong tam giác, ta có:
   $$
   C = 90^\circ - (A + B) \Rightarrow C = 90^\circ \text{ nếu } A + B = 90^\circ.
   $$
   Khi đó, ta có thể khẳng định rằng tam giác $ ABC $ là tam giác vuông tại một trong hai đỉnh $ A $ hoặc $ B $.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng:
- Nếu tam giác vuông tại $ A $ hoặc $ B $, thì $ \sin C = \cos A + \cos B $.
- Ngược lại, nếu $ \sin C = \cos A + \cos B $, thì tam giác là tam giác vuông tại $ A $ hoặc $ B $.

Do đó, ta kết luận:
$$
\text{Tam giác } ABC \text{ vuông tại } A \text{ hoặc } B \text{ khi và chỉ khi } \sin C = \cos A + \cos B.
$$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $10$ $...$