Tìm x nguyên để $45x-1 \vdots x+1$

Để giải bài toán \( 45x - 1 \vdots x + 1 \), chúng ta cần tìm \( x \) nguyên sao cho \( x + 1 \) chia hết cho \( 45x - 1 \). Điều này có thể hiểu là \( 45x - 1 \equiv 0 \mod (x + 1) \). Chúng ta có thể viết lại điều kiện này như sau: \[ 45x - 1 \equiv 0 \mod (x + 1) \Rightarrow 45x - 1 = k(x + 1) \] Cho một số nguyên \( k \). Điều này có nghĩa là \( 45x - 1 \) phải có dạng là bội số của \( x + 1 \). Chúng ta có thể viết lại thành: \[ 45x - kx - k = 1 \] \[ (45 - k)x = k + 1 \] Từ đó, ta có: \[ x = \frac{k + 1}{45 - k} \] Để \( x \) là số nguyên, \( k + 1 \) phải chia hết cho \( 45 - k \). Bây giờ, ta sẽ thử với các giá trị của \( k \): - Nếu \( k = 0 \): \[ x = \frac{0 + 1}{45 - 0} = \frac{1}{45} \text{ (không nguyên)} \] - Nếu \( k = 1 \): \[ x = \frac{1 + 1}{45 - 1} = \frac{2}{44} = \frac{1}{22} \text{ (không nguyên)} \] - Nếu \( k = 2 \): \[ x = \frac{2 + 1}{45 - 2} = \frac{3}{43} \text{ (không nguyên)} \] - Nếu \( k = 3 \): \[ x = \frac{3 + 1}{45 - 3} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21} \text{ (không nguyên)} \] - Nếu \( k = 4 \): \[ x = \frac{4 + 1}{45 - 4} = \frac{5}{41} \text{ (không nguyên)} \] - Tiếp tục thử với các giá trị lớn hơn cho đến khi tìm được giá trị nguyên. Ta cũng có thể thử các giá trị âm của \( k \) hoặc giá trị lớn hơn \( 45 \). Nhưng thực tế, ta có thể dùng phép chia: Chia \( 45x - 1 \) cho \( x + 1 \): 1. Thực hiện phép chia: \[ \frac{45x - 1}{x + 1} = 45 - \frac{46}{x + 1} \] Để \( 46 \) chia hết cho \( x + 1 \), ta cần tìm các ước số của \( 46 \): Các ước số của \( 46 \) là: \( 1, 2, 23, 46 \). Từ đó, ta có thể tính ra được các giá trị của \( x \): - Nếu \( x + 1 = 1 \) thì \( x = 0 \) - Nếu \( x + 1 = 2 \) thì \( x = 1 \) - Nếu \( x + 1 = 23 \) thì \( x = 22 \) - Nếu \( x + 1 = 46 \) thì \( x = 45 \) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn điều kiện là: \[ x = 0, 1, 22, 45 \] Tóm lại, nghiệm nguyên của phương trình là \( x = 0, 1, 22, 45 \).