« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $10$
Bạn Nam có một hộp bi gồm $2$ viên bi màu đỏ và $4$ viên bi màu trắng. Bạn Định cũng có một hộp bí giống như của bạn Nam. Từ hộp của mình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên $3$ viên bi. Tính xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bị màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau.

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Số phần tử của không gian mẫu:

$n(\Omega) = C_6^3 \cdot C_6^3 = 20 \cdot 20 = 400$

Gọi A là biến cố: "Trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau".

Do mỗi bạn chỉ chọn 3 viên bi và mỗi hộp có tối đa 2 bi đỏ, nên để thỏa mãn yêu cầu bài toán, số bi đỏ của hai bạn chọn được chỉ có thể cùng bằng 1 hoặc cùng bằng 2.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A:

$n(A) = (C_2^1 \cdot C_4^2) \cdot (C_2^1 \cdot C_4^2) + (C_2^2 \cdot C_4^1) \cdot (C_2^2 \cdot C_4^1)$

$= 12 \cdot 12 + 4 \cdot 4$

$= 144 + 16$

$= 160$

Xác suất của biến cố A:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{160}{400} = \frac{2}{5}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính tổng số cách chọn 3 viên bi của mỗi bạn.**
2. **Tính số cách chọn 3 viên bi với điều kiện có ít nhất 1 viên bi đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau.**
3. **Tính xác suất.**

### Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 viên bi

Mỗi bạn có 2 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu trắng, tức là tổng cộng có 6 viên bi.

Số cách chọn 3 viên bi từ 6 viên bi là:
$$
\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20.
$$

### Bước 2: Tính số cách chọn 3 viên bi thỏa mãn yêu cầu

Chúng ta cần tìm số cách chọn sao cho:
- Có ít nhất 1 viên bi đỏ.
- Số bi đỏ của hai bạn bằng nhau.

Cách phân chia số viên bi đỏ giữa hai bạn có thể là (1, 1) hoặc (2, 2).

#### Trường hợp 1: Cả hai bạn chọn 1 viên bi đỏ

- Số cách chọn 1 viên bi đỏ cho bạn Nam: $\binom{2}{1} = 2$.
- Số cách chọn 2 viên bi trắng cho bạn Nam: $\binom{4}{2} = 6$.
- Số cách chọn 1 viên bi đỏ cho bạn Định: $\binom{2}{1} = 2$.
- Số cách chọn 2 viên bi trắng cho bạn Định: $\binom{4}{2} = 6$.

Tổng số cách cho trường hợp này là:
$$
(2 \times 6) \times (2 \times 6) = 12 \times 12 = 144.
$$

#### Trường hợp 2: Cả hai bạn chọn 2 viên bi đỏ

- Số cách chọn 2 viên bi đỏ cho bạn Nam: $\binom{2}{2} = 1$.
- Số cách chọn 1 viên bi trắng cho bạn Nam: $\binom{4}{1} = 4$.
- Số cách chọn 2 viên bi đỏ cho bạn Định: $\binom{2}{2} = 1$.
- Số cách chọn 1 viên bi trắng cho bạn Định: $\binom{4}{1} = 4$.

Tổng số cách cho trường hợp này là:
$$
(1 \times 4) \times (1 \times 4) = 4 \times 4 = 16.
$$

### Bước 3: Tổng số cách chọn thỏa mãn

Tổng số cách chọn có ít nhất 1 viên bi đỏ và số bi đỏ bằng nhau là:
$$
144 + 16 = 160.
$$

### Tính xác suất

Tổng số cách chọn 3 viên bi của mỗi bạn là 20, vì vậy số cách chọn của cả hai bạn là:
$$
20 \times 20 = 400.
$$

Xác suất để trong các viên bi được chọn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau là:
$$
P = \frac{160}{400} = \frac{2}{5}.
$$

### Kết luận

Xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau là $\frac{2}{5}$.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $10$ Bạn Nam có một hộp bi gồm $2$ viên bi màu đỏ và $4$ viên bi màu trắng. Bạn Định cũng có một hộp bí giống như của bạn Nam. Từ hộp của mình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên $3$ viên...