Xác định parabol y = ax^2 + bx + 1 trong trường hợp sau:
Đi qua điểm A(-1; 6) và có tung độ đỉnh –0,25.

Question

Xác định parabol y = ax^2 + bx + 1 trong trường hợp sau:
 Đi qua điểm A(-1; 6) và có tung độ đỉnh –0,25.

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5436811,"userName":"chippy"}

Thay tọa độ $$x=-1;y=6$$ vào (P), ta có:

$$a.\left(-1 ight)^2+b.\left(-1 ight)+1=6$$

$$a-b+1=6$$

$$a-b=5$$

$$b=a-5$$

Vì tung độ điểm là $$-0,25$$ nên:

$$y_I=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4a.1-b^2}{4a}=-0,25$$

$$4a-b^2=-a$$

$$5a-b^2=0$$

Suy ra: $$5a-\left(a-5 ight)^2=0$$

$$5a-\left(a^2-10a+25 ight)=0$$

$$-a^2+15a-25=0$$

$$\left[\begin{matrix}a=\frac{15+5\sqrt{5}}{2} \ a=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}\end{matrix} ight.$$

Với $$a=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$$ thì $$b=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}-5=\frac{5+5\sqrt{5}}{2}$$

Với $$a=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}$$ thì $$b=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}-5=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$$

Vậy có hai (P) thỏa mãn là: $$y=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}x^2+\frac{5+5\sqrt{5}}{2}x+1;y=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}x^2+\frac{5-5\sqrt{5}}{2}x+1$$.

Timi · Answer

Để xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1$ đi qua điểm $A(-1; 6)$ và có tung độ đỉnh là $-0,25$, ta cần làm theo các bước sau:

1. **Xác định tọa độ đỉnh**:
   Tọa độ đỉnh của parabol có dạng $y = ax^2 + bx + c$ được tính bằng công thức:
   $$
   x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a}
   $$
   Từ tung độ đỉnh là $-0,25$, ta có:
   $$
   y_{đỉnh} = -0,25
   $$

2. **Xác định phương trình dựa vào điểm A**:
   Parabol đi qua điểm $A(-1, 6)$, do đó ta có thể thay vào phương trình:
   $$
   6 = a(-1)^2 + b(-1) + 1
   $$
   Điều này sẽ cho ta phương trình:
   $$
   6 = a - b + 1
   $$
   Từ đó, ta có:
   $$
   a - b = 5 \quad (1)
   $$

3. **Tìm giá trị b dựa vào tung độ đỉnh**:
   Từ tung độ đỉnh, ta có:
   $$
   -\frac{b^2}{4a} + 1 = -0,25
   $$
   Sắp xếp lại:
   $$
   -\frac{b^2}{4a} = -1,25
   $$
   Nhân hai bên với $-4a$ (với điều kiện $a \neq 0$):
   $$
   b^2 = 5a \quad (2)
   $$

4. **Giải hệ phương trình**:
   Từ phương trình (1) và (2), ta có hai phương trình:
   $$
   a - b = 5 \quad (1)
   $$
   $$
   b^2 = 5a \quad (2)
   $$

Từ (1), ta có $b = a - 5$. Thay vào (2):
   $$
   (a - 5)^2 = 5a
   $$
   Mở rộng:
   $$
   a^2 - 10a + 25 = 5a
   $$
   Đưa tất cả về một bên:
   $$
   a^2 - 15a + 25 = 0
   $$

Sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai:
   $$
   a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}
   $$
   $$
   = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 100}}{2} = \frac{15 \pm \sqrt{125}}{2} = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2}
   $$

Ta có hai giá trị cho $a$:
   $$
   a_1 = \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2} \quad và \quad a_2 = \frac{15 - 5\sqrt{5}}{2}
   $$

5. **Tính giá trị của b**:
   Thay giá trị của $a$ vào phương trình (1) để tìm $b$:
   $$
   b_1 = a_1 - 5 = \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2} - 5 = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2} = \frac{5(1 + \sqrt{5})}{2}
   $$
   $$
   b_2 = a_2 - 5 = \frac{15 - 5\sqrt{5}}{2} - 5 = \frac{5 - 5\sqrt{5}}{2} = \frac{5(1 - \sqrt{5})}{2}
   $$

Vậy hệ số $a$ và $b$ của parabol có thể là:
- Với $a_1$, $b_1$
- Với $a_2$, $b_2$

Cuối cùng, phương trình parabol có thể có dạng:
$$
y = ax^2 + bx + 1
$$
Với $a$ và $b$ đã xác định ở trên.

Xác định parabol y = ax^2 + bx + 1 trong trường hợp sau: Đi qua điểm A(-1; 6) và có tung độ đỉnh –0,25.