Cho tam giác $ABC$ cố định. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn: $|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}|$.

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu với ký hiệu các điểm trong tam giác $ ABC $. Gọi $ A, B, C $ lần lượt là các điểm trong không gian, và $ M $ là điểm mà chúng ta đang tìm.

Ta có phương trình điều kiện:

$$
|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}|.
$$

Đặt $ \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} $ và $ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M} $.

Thay thế vào phương trình, ta được:

$$
|2(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M})| = |(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M})|.
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
|2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{M}| = |\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{M}|.
$$

Gọi $ \overrightarrow{P} = 3\overrightarrow{M} $. Khi đó, ta có thể viết lại thành:

$$
|2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{P}| = |\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - \overrightarrow{P}|.
$$

Xét các vectơ $ \overrightarrow{U} = 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} $ và $ \overrightarrow{V} = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} $.

Bây giờ, chúng ta cần tìm điều kiện để $ | \overrightarrow{U} - \overrightarrow{P} | = | \overrightarrow{V} - \overrightarrow{P} | $.

Điều này có nghĩa là điểm $ P $ nằm trên đường trung bình giữa hai điểm $ U $ và $ V $.

Giả sử rằng quỹ tích điểm $ M $ là một đường thẳng, vì $ P $ nằm trên đường trung bình giữa $ U $ và $ V $. Điểm giữa $ U $ và $ V $ được tính bằng:

$$
\frac{\overrightarrow{U} + \overrightarrow{V}}{2} = \frac{(2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B})}{2} = \frac{3\overrightarrow{A} + 3\overrightarrow{B}}{2} = \frac{3}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}).
$$

Từ đó, quỹ tích điểm $ M $ sẽ là một đường thẳng nối giữa hai điểm $ A $ và $ B $ theo tỉ lệ cụ thể, và do đó là một đường thẳng.

Kết luận: Quỹ tích điểm $ M $ thỏa mãn điều kiện đã cho là một đường thẳng nằm giữa các điểm $ A $ và $ B $.