Tìm các số tự nhiên n sao cho $d)~(4n^2+3n+3)\vdots(2n+1)$

Question

Kochou Shinobu &lt;3 · Accepted Answer

Timi · Answer

Để tìm các số tự nhiên $ n $ sao cho $ (4n^2 + 3n + 3) \vdots (2n + 1) $, tức là $ 2n + 1 $ chia hết cho $ 4n^2 + 3n + 3 $, chúng ta cần kiểm tra điều kiện chia hết này.

Đầu tiên, ta xác định biểu thức $ 4n^2 + 3n + 3 $ và $ 2n + 1 $. Để kiểm tra điều kiện chia hết, chúng ta có thể sử dụng phép chia số nguyên hoặc thử các giá trị cụ thể của $ n $.

1. **Thử với các giá trị cụ thể của $ n $**:
   - Nếu $ n = 0 $:
     $$
     2n + 1 = 1 \quad \text{và} \quad 4n^2 + 3n + 3 = 3 \quad \text{vậy} \quad 3 \vdots 1 \quad \text{(đúng)}
     $$
   - Nếu $ n = 1 $:
     $$
     2n + 1 = 3 \quad \text{và} \quad 4n^2 + 3n + 3 = 10 \quad \text{vậy} \quad 10 \vdots 3 \quad \text{(không đúng, vì 10 chia cho 3 dư 1)}
     $$
   - Nếu $ n = 2 $:
     $$
     2n + 1 = 5 \quad \text{và} \quad 4n^2 + 3n + 3 = 35 \quad \text{vậy} \quad 35 \vdots 5 \quad \text{(đúng)}
     $$
   - Nếu $ n = 3 $:
     $$
     2n + 1 = 7 \quad \text{và} \quad 4n^2 + 3n + 3 = 69 \quad \text{vậy} \quad 69 \vdots 7 \quad \text{(không đúng, vì 69 chia cho 7 dư 5)}
     $$
   - Nếu $ n = 4 $:
     $$
     2n + 1 = 9 \quad \text{và} \quad 4n^2 + 3n + 3 = 123 \quad \text{vậy} \quad 123 \vdots 9 \quad \text{(không đúng, vì 123 chia cho 9 dư 6)}
     $$
   - Nếu $ n = 5 $:
     $$
     2n + 1 = 11 \quad \text{và} \quad 4n^2 + 3n + 3 = 189 \quad \text{vậy} \quad 189 \vdots 11 \quad \text{(không đúng, vì 189 chia cho 11 dư 8)}
     $$
   - Nếu $ n = 6 $:
     $$
     2n + 1 = 13 \quad \text{và} \quad 4n^2 + 3n + 3 = 267 \quad \text{vậy} \quad 267 \vdots 13 \quad \text{(đúng)}
     $$

Từ các giá trị thử nghiệm, chúng ta tìm được các giá trị của $ n $ thỏa mãn là $ n = 0, 2, 6 $.

2. **Kết luận**:
Các số tự nhiên $ n $ sao cho $ (4n^2 + 3n + 3) \vdots (2n + 1) $ là $ n = 0, 2, 6 $.

Huycindy · Answer

Do $(4n^2 + 3n + 3) \ \vdots \ (2n + 1)$
$2n(2n + 1) + n + 3 \ \vdots \ (2n + 1)$
Do $2n(2n + 1) \ \vdots \ (2n + 1)$ nên $n + 3 \ \vdots \ (2n + 1)$
Do $n + 3 \ \vdots \ (2n + 1)$ nên $2(n + 3) \ \vdots \ (2n + 1)$
$2n + 6 \ \vdots \ (2n + 1)$
$(2n + 1) + 5 \ \vdots \ (2n + 1)$
Do $(2n + 1) \ \vdots \ (2n + 1)$ nên $5 \ \vdots \ (2n + 1)$
Do $n \in \mathbb{N}$ nên $2n + 1 \geq 1$
$2n + 1 \in \{1; 5\}$
$\left[ \begin{aligned} 2n + 1 &= 1 \ 2n + 1 &= 5 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} 2n &= 0 \ 2n &= 4 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} n &= 0 	ext{ (n)} \ n &= 2 	ext{ (n)} \end{aligned} ight.$
Vậy $n \in \{0; 2\}$.