Cho tam giác $ABC$ cố định. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn: $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}|$.

Question

Phụng Huỳnh Công · Accepted Answer

{"userId": 5385505, "userName": "ft. Hoàng "}
Lời giải chi tiết
Để giải bài toán này, ta sử dụng tính chất của trọng tâm tam giác và phân tích vectơ thành các điểm cố định.
1. Biến đổi vế trái:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có:
MA + MB + MC = 3MG
Do đó:
|MA + MB + MC| = |3MG| = 3MG
2. Biến đổi vế phải:
Ta cần tìm một điểm I cố định sao cho biểu thức vectơ vế phải có dạng k * MI.
Xét biểu thức vectơ: V = MA + 2MB - 3MC
Chèn điểm C vào các vectơ MA và MB:
V = (MC + CA) + 2(MC + CB) - 3MC
V = MC + CA + 2MC + 2CB - 3MC
V = (MC + 2MC - 3MC) + CA + 2CB
V = CA + 2CB
Vì A, B, C cố định nên vectơ (CA + 2CB) là một vectơ cố định (không phụ thuộc vào M).
Gọi vectơ này là vectơ V0 = CA + 2CB.
Vậy: |MA + 2MB - 3MC| = |V0| (độ dài của một vectơ không đổi).
3. Kết luận về quỹ tích:
Từ đề bài, ta có:
3MG = |V0|
=> MG = |V0| / 3
Vì G là điểm cố định, |V0| là độ dài không đổi, nên |V0| / 3 là một hằng số (gọi là R).
Vậy MG = R.
Tập hợp các điểm M cách điểm G cố định một khoảng không đổi R chính là đường tròn tâm G, bán kính R = 1/3 * |CA + 2CB|.

Timi · Answer

Để giải bài toán, trước tiên ta sẽ sử dụng ký hiệu vector cho các điểm trong tam giác $ABC$.

Gọi $\overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C}$ lần lượt là các vector vị trí của các điểm $A$, $B$, $C$ trong không gian. Điểm $M$ sẽ có vector vị trí là $\overrightarrow{M}$.

Ta có các vector như sau:
- $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}$
- $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}$
- $\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}$

Thay vào biểu thức ban đầu, ta có:
$$
|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M})|
$$
$$
= |(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) - 3\overrightarrow{M}|
$$

Biểu thức bên trái trở thành:
$$
|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{M}|
$$

Tiếp theo, chúng ta xét biểu thức bên phải:
$$
|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - 3\overrightarrow{MC}| = |(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) - 3(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M})|
$$
$$
= |(\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}) - (1 + 2 - 3)\overrightarrow{M}|
$$
$$
= |(\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}) - 0\overrightarrow{M}|
$$
$$
= |\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}|
$$

Do đó, ta có phương trình:
$$
|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{M}| = |\overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}|
$$

Giả sử $K = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}$, ta có:
$$
|\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 3\overrightarrow{M}| = |K|
$$

Để giải phương trình này, chúng ta xem xét quỹ tích điểm $M$.

Ta thấy rằng điểm $M$ sẽ nằm trên hai mặt cầu đồng tâm có bán kính là $|K|$ và vị trí trung điểm được xác định bởi $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}$.

Kết quả cuối cùng, quỹ tích của điểm $M$ sẽ là hai mặt cầu mà bán kính được xác định bởi độ lớn của vector $K$.

Vậy quỹ tích của điểm $M$ là một mặt cầu trong không gian.