Cho tam giác $ABC$ cố định. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn: $|2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}| = |3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|$.

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn: $2\vec{IA} + 3\vec{IB} = \vec{0}$
Khi đó: $|2\vec{MA} + 3\vec{MB}| = |5\vec{MI}| = 5MI$

Gọi $J$ là điểm thỏa mãn: $3\vec{JB} + 2\vec{JC} = \vec{0}$
Khi đó: $|3\vec{MB} + 2\vec{MC}| = |5\vec{MJ}| = 5MJ$

Từ gt :
$5MI = 5MJ \Leftrightarrow MI = MJ$

Vậy quỹ tích điểm $M$ là đường trung trực của đoạn thẳng $IJ$ (với $I$ xác định bởi $2\vec{IA} + 3\vec{IB} = \vec{0}$ và $J$ xác định bởi $3\vec{JB} + 2\vec{JC} = \vec{0}$)

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích điều kiện mà bài toán đưa ra.

Gọi tọa độ của các điểm $ A, B, C $ lần lượt là $ A(x_A, y_A) $, $ B(x_B, y_B) $, và $ C(x_C, y_C) $. Gọi điểm $ M $ có tọa độ $ M(x, y) $.

Ta có:

$$
\overrightarrow{MA} = \begin{pmatrix} x_A - x \ y_A - y \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{MB} = \begin{pmatrix} x_B - x \ y_B - y \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{MC} = \begin{pmatrix} x_C - x \ y_C - y \end{pmatrix}
$$

Bây giờ, ta xét biểu thức trong điều kiện của bài toán:

$$
|2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}| = |3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}|
$$

Tính từng bên:

Bên trái:

$$
2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = 2 \begin{pmatrix} x_A - x \ y_A - y \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} x_B - x \ y_B - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_A + 3x_B - 5x \ 2y_A + 3y_B - 5y \end{pmatrix}
$$

Bên trái có độ dài là:

$$
|2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}| = \sqrt{(2x_A + 3x_B - 5x)^2 + (2y_A + 3y_B - 5y)^2}
$$

Bên phải:

$$
3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = 3 \begin{pmatrix} x_B - x \ y_B - y \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} x_C - x \ y_C - y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x_B + 2x_C - 5x \ 3y_B + 2y_C - 5y \end{pmatrix}
$$

Bên phải có độ dài là:

$$
|3\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}| = \sqrt{(3x_B + 2x_C - 5x)^2 + (3y_B + 2y_C - 5y)^2}
$$

Khi ta bình phương cả hai vế, ta có:

$$
(2x_A + 3x_B - 5x)^2 + (2y_A + 3y_B - 5y)^2 = (3x_B + 2x_C - 5x)^2 + (3y_B + 2y_C - 5y)^2
$$

Từ đây, ta có một phương trình bậc 2 về $ x $ và $ y $, điều này cho thấy quỹ tích điểm $ M $ sẽ là một hình conic.

Cụ thể, vì phương trình này có dạng giống như phương trình của một đường tròn hoặc một elip, ta có thể kết luận rằng quỹ tích của điểm $ M $ sẽ là một đường tròn hoặc một elip phụ thuộc vào các tọa độ của điểm $ A, B, C $.

Vậy quỹ tích điểm $ M $ thỏa mãn điều kiện là một đường conic trong mặt phẳng.

❄TRANG︵✰ · Answer

Phụng Huỳnh Công · Answer

{"userId": 5385505, "userName": "ft. Hoàng "}
Lời giải chi tiết
Để giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp tìm điểm cố định (tâm tỉ cự) để rút gọn biểu thức vectơ:
1. Biến đổi vế trái:
Gọi I là điểm cố định thỏa mãn: 2IA + 3IB = 0.
Khi đó, với mọi điểm M, ta có:
|2MA + 3MB| = |2(MI + IA) + 3(MI + IB)|
= |5MI + (2IA + 3IB)|
= |5MI + 0|
= 5MI
2. Biến đổi vế phải:
Gọi J là điểm cố định thỏa mãn: 3JB + 2JC = 0.
Khi đó, với mọi điểm M, ta có:
|3MB + 2MC| = |3(MJ + JB) + 2(MJ + JC)|
= |5MJ + (3JB + 2JC)|
= |5MJ + 0|
= 5MJ
3. Kết luận về quỹ tích:
Từ đề bài, ta có:
5MI = 5MJ
<=> MI = MJ
Vậy, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm cố định I và J là đường trung trực của đoạn thẳng IJ.
Trong đó:
I là điểm thỏa mãn 2IA + 3IB = 0 (I nằm trên đoạn AB sao cho AI = 3/5 AB).
J là điểm thỏa mãn 3JB + 2JC = 0 (J nằm trên đoạn BC sao cho BJ = 2/5 BC).