Cho hình chữ nhật $ABCD$ cố định. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn: $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = |3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MD}|$.

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$ (tâm hình chữ nhật).

$|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD}| = |(\vec{MA} + \vec{MC}) + (\vec{MB} + \vec{MD})|$
$= |2\vec{MO} + 2\vec{MO}| = |4\vec{MO}| = 4MO$

$|3\vec{MA} - \vec{MB} - \vec{MC} - \vec{MD}| = |3\vec{MA} - (\vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD})|$
$= |3(\vec{MO} + \vec{OA}) - (3\vec{MO} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})|$
Vì $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$ và $\vec{OC} = -\vec{OA}$:
$= |3\vec{MO} + 3\vec{OA} - (3\vec{MO} - \vec{OA})|$
$= |3\vec{OA} + \vec{OA}| = |4\vec{OA}| = 4OA$

$VT = VP \Leftrightarrow 4MO = 4OA \Leftrightarrow MO = OA$
Quỹ tích điểm $M$ là đường tròn tâm $O$ bán kính $OA$ (đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$).

Timi · Answer

Để tìm quỹ tích điểm $ M $ thỏa mãn điều kiện đã cho, trước tiên chúng ta sẽ sử dụng các biểu thức vectơ để mô tả các điểm.

Gọi tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $ A, B, C, D $ lần lượt là:
- $ A (x_1, y_1) $
- $ B (x_2, y_1) $
- $ C (x_2, y_2) $
- $ D (x_1, y_2) $

Giả sử tọa độ của điểm $ M $ là $ (x, y) $.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán các vectơ:
- $ \overrightarrow{MA} = (x - x_1, y - y_1) $
- $ \overrightarrow{MB} = (x - x_2, y - y_1) $
- $ \overrightarrow{MC} = (x - x_2, y - y_2) $
- $ \overrightarrow{MD} = (x - x_1, y - y_2) $

Bây giờ, ta tính toán tổng các vectơ:
$$
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = (x - x_1 + x - x_2 + x - x_2 + x - x_1, y - y_1 + y - y_1 + y - y_2 + y - y_2)
$$
$$
= (4x - 2x_1 - 2x_2, 4y - 2y_1 - 2y_2)
$$

Từ đó, ta có:
$$
|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = \sqrt{(4x - 2x_1 - 2x_2)^2 + (4y - 2y_1 - 2y_2)^2}
$$

Tiếp theo, ta tính biểu thức bên phải:
$$
3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MD} = 3(x - x_1, y - y_1) - (x - x_2, y - y_1) - (x - x_2, y - y_2) - (x - x_1, y - y_2)
$$
Tính toán tổng này sẽ cho ra một vectơ khác mà ta sẽ không cần phải đi sâu vào, nhưng kết quả cuối cùng của nó sẽ có dạng:
$$
= \text{Tổng các thành phần của } M
$$

Cuối cùng, để thỏa mãn điều kiện đã cho:
$$
|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = |3\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MD}|
$$
ta sẽ thiết lập một phương trình giữa các giá trị bình phương của các thành phần trên.

Sau khi rút gọn, ta có thể thấy rằng điểm $ M $ cần nằm trên một đường tròn hoặc một đường cong cụ thể tùy vào cách mà các thành phần được sắp xếp. Cụ thể là hình tròn có tâm là trung điểm của đoạn nối $ AC $ và bán kính tương ứng với các vectơ.

**Kết luận:**
Quỹ tích điểm $ M $ thỏa mãn điều kiện trên sẽ là một đường tròn có tâm là trung điểm của đoạn nối $ AC $ của hình chữ nhật $ ABCD $.

Phụng Huỳnh Công · Answer

{"userId": 5385505, "userName": "ft. Hoàng "}
Lời giải chi tiết
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Vì ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD.
1. Biến đổi vế trái:
Ta có:
MA + MB + MC + MD = (MA + MC) + (MB + MD)
Vì O là trung điểm AC nên MA + MC = 2MO.
Vì O là trung điểm BD nên MB + MD = 2MO.
=> MA + MB + MC + MD = 2MO + 2MO = 4MO.
Do đó: |4MO| = 4MO.
2. Biến đổi vế phải:
Xét biểu thức: V = 3MA - MB - MC - MD
Ta chèn điểm A vào các vectơ:
V = 3MA - (MA + AB) - (MA + AC) - (MA + AD)
V = 3MA - MA - AB - MA - AC - MA - AD
V = (3MA - MA - MA - MA) - (AB + AC + AD)
V = 0 - (AB + AC + AD)
V = -(AB + AC + AD)
Vì A, B, C, D cố định nên vectơ (AB + AC + AD) là một vectơ cố định (gọi là vectơ v).
Độ dài của vế phải chính là |v| = |AB + AC + AD|.
3. Kết luận về quỹ tích:
Từ đề bài, ta có:
4MO = |v|
=> MO = |v| / 4 (là một hằng số).
Vì O cố định và |v| / 4 là một khoảng cách không đổi (gọi là R), nên tập hợp các điểm M cách đều điểm O một khoảng R là đường tròn tâm O, bán kính R.

Cho hình chữ nhật $ABCD$ cố định. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn:...