Tìm số tự nhiên sao cho $2^n +9$ là số chính phương

Question

Tìm số tự nhiên sao cho  $2^n +9$ là số chính phương

Linh YT Nhìu lắm. · Accepted Answer

Đặt 2^n + 9 = m^2 (với m là số tự nhiên). Suy ra: m^2 - 9 = 2^n Tương đương: (m - 3)(m + 3) = 2^n

Vì tích của hai nhân tử là một lũy thừa của 2, nên mỗi nhân tử cũng phải có dạng lũy thừa của 2. Đặt m - 3 = 2^a và m + 3 = 2^b (với a, b là các số tự nhiên và a nhỏ hơn b, a + b = n).

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta được: (m + 3) - (m - 3) = 2^b - 2^a 6 = 2^a * (2^(b - a) - 1)

Vì 6 = 2 * 3, ta so sánh hai vế:

Thừa số chẵn: 2^a = 2, suy ra a = 1.

Thừa số lẻ: 2^(b - a) - 1 = 3 Tương đương: 2^(b - 1) = 4 = 2^2 Suy ra: b - 1 = 2, dẫn đến b = 3.

Từ đó ta tìm được n = a + b = 1 + 3 = 4.

Thử lại: Với n = 4 thì 2^4 + 9 = 16 + 9 = 25 = 5^2 (là số chính phương, thỏa mãn).

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 4.

Timi · Answer

Để tìm số tự nhiên $ n $ sao cho $ 2^n + 9 $ là số chính phương, chúng ta đặt $ 2^n + 9 = k^2 $ với $ k $ là một số tự nhiên.

Ta có phương trình:
$$
2^n = k^2 - 9
$$
Hay viết lại:
$$
2^n = (k-3)(k+3)
$$

Vì $ 2^n $ là một số mũ của 2, nên cả $ k-3 $ và $ k+3 $ cũng phải là các số mũ của 2. Gọi $ k - 3 = 2^a $ và $ k + 3 = 2^b $ với $ a < b $.

Ta có:
$$
2^b - 2^a = 6
$$

Ta phân tích phương trình trên:
$$
2^a (2^{b-a} - 1) = 6
$$

Các yếu tố của 6 là: $ (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) $.

Ta sẽ xét từng trường hợp:

1. **Trường hợp $ 2^a = 2 $ và $ 2^{b-a} - 1 = 3 $**:
   - $ a = 1 $ thì $ 2^{b-a} = 4 $ => $ b - a = 2 $ => $ b = 3 $.
   - Vậy $ k - 3 = 2^1 = 2 $ và $ k + 3 = 2^3 = 8 $ => $ k = 5 $.
   - Khi đó $ n = a + b = 1 + 3 = 4 $.

2. **Trường hợp $ 2^a = 1 $ và $ 2^{b-a} - 1 = 6 $**:
   - $ a = 0 $ thì $ 2^{b-a} = 7 $ => Không hợp lệ vì 7 không phải là số mũ của 2.

3. **Trường hợp $ 2^a = 3 $**: Không hợp lệ vì 3 không phải là số mũ của 2.

4. **Trường hợp $ 2^a = 6 $**: Không hợp lệ vì 6 không phải là số mũ của 2.

Vậy chỉ có trường hợp duy nhất là $ n = 4 $.

Kiểm tra lại:
$$
2^4 + 9 = 16 + 9 = 25 = 5^2
$$

Vậy số tự nhiên $ n $ sao cho $ 2^n + 9 $ là số chính phương là:
$$
\boxed{4}
$$