Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $A=2019^n+2020$ là số chính phương.

Question

Trang Nguyễn · Accepted Answer

Xét n = 0: A = 2019^0 + 2020 = 2021, không phải số chính phương.

Xét n lớn hơn 0: Ta có 2019 chia 4 dư -1, còn 2020 chia hết cho 4. Do đó A chia 4 sẽ có cùng số dư với (-1)^n. Vì A là số chính phương nên khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Suy ra (-1)^n = 1, tức là n phải là số chẵn.

Đặt n = 2k (với k là số tự nhiên lớn hơn 0). Giả sử A là số chính phương, đặt A = m^2 (m là số tự nhiên). Ta có: m^2 = (2019^k)^2 + 2020 Suy ra: m^2 - (2019^k)^2 = 2020 Tương đương: (m - 2019^k)(m + 2019^k) = 2020

Vì hai nhân tử (m - 2019^k) và (m + 2019^k) có cùng tính chẵn lẻ, mà tích của chúng là 2020 (số chẵn), nên cả hai nhân tử này đều phải là số chẵn.

Trong các cách phân tích số 2020 thành tích của hai số chẵn, chỉ có duy nhất cặp số 2 và 1010. Do đó ta có: m - 2019^k = 2 m + 2019^k = 1010

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta được: 2 * 2019^k = 1008 Suy ra 2019^k = 504

Vì k lớn hơn hoặc bằng 1 nên 2019^k luôn lớn hơn hoặc bằng 2019, điều này vô lý.

Vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Timi · Answer

Để tìm tất cả các số tự nhiên $ n $ sao cho $ A = 2019^n + 2020 $ là số chính phương, chúng ta đặt $ A = k^2 $ với $ k $ là một số nguyên.

Ta có phương trình:
$$
2019^n + 2020 = k^2
$$
hay
$$
k^2 - 2019^n = 2020.
$$

Chúng ta có thể viết lại phương trình trên như sau:
$$
k^2 - 2020 = 2019^n.
$$

Chúng ta sẽ kiểm tra một số giá trị của $ n $:

1. **Khi $ n = 0 $**:
   $$
   A = 2019^0 + 2020 = 1 + 2020 = 2021.
   $$
   Kiểm tra xem 2021 có phải là số chính phương hay không. Ta thấy rằng $ 44^2 = 1936 $ và $ 45^2 = 2025 $. Do đó, 2021 không phải là số chính phương.

2. **Khi $ n = 1 $**:
   $$
   A = 2019^1 + 2020 = 2019 + 2020 = 4039.
   $$
   Tương tự, ta kiểm tra 4039. Ta có $ 63^2 = 3969 $ và $ 64^2 = 4096 $. Do đó, 4039 cũng không phải là số chính phương.

3. **Khi $ n = 2 $**:
   $$
   A = 2019^2 + 2020 = 4076361 + 2020 = 4078381.
   $$
   Kiểm tra 4078381. Ta thấy rằng $ 2019^2 = 4076361 $ và khoảng cách giữa 4076361 và 4078381 là quá lớn để nó trở thành số chính phương.

4. **Khi $ n \geq 3 $**:
   Khi $ n \geq 3 $, số $ 2019^n $ sẽ rất lớn. Mặc khác, ta biết rằng $ k^2 - 2020 = 2019^n $ có nghĩa là $ k^2 $ phải lớn hơn rất nhiều so với 2020. Do đó, nếu $ n \geq 3 $, thì $ A $ sẽ là một số rất lớn và sẽ rất khó có khả năng là số chính phương.

Từ những giá trị trên, chúng ta có thể kết luận rằng không có giá trị $ n $ nào từ 0 trở đi mà khiến cho $ A = 2019^n + 2020 $ trở thành số chính phương.

Do đó, tập hợp các số tự nhiên $ n $ sao cho $ A $ là số chính phương là:
$$
\boxed{\text{Không có giá trị nào.}}
$$