Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau

Question

ʃƪ Huyền✿Badgirlლ✷ʃƪ · Accepted Answer

Gọi 3 số lẻ liên tiếp cần tìm là 2k - 1, 2k + 1 và 2k + 3 (với k là số nguyên).

Tổng bình phương của 3 số này là: S = (2k - 1)^2 + (2k + 1)^2 + (2k + 3)^2 S = (4k^2 - 4k + 1) + (4k^2 + 4k + 1) + (4k^2 + 12k + 9) S = 12k^2 + 12k + 11

Theo đề bài, S là một số có 4 chữ số giống nhau, tức là S có dạng aaaa (với a là chữ số từ 1 đến 9). S = a * 1111

Ta có phương trình: 12k^2 + 12k + 11 = a * 1111 12k(k + 1) = a * 1111 - 11 12k(k + 1) = 11 * (a * 101 - 1)

Vì k(k + 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên k(k + 1) luôn chia hết cho 2. Do đó, vế trái 12k(k + 1) phải chia hết cho 24. Suy ra vế phải 11 * (a * 101 - 1) cũng phải chia hết cho 24. Vì 11 không chia hết cho 2, 3, 4 nên (a * 101 - 1) phải chia hết cho 24.

Ta thử các giá trị của a từ 1 đến 9 để tìm giá trị sao cho (a * 101 - 1) chia hết cho 24:

Với a = 1: 101 - 1 = 100 (không chia hết cho 24)

Với a = 2: 202 - 1 = 201 (không chia hết cho 24)

Với a = 3: 303 - 1 = 302 (không chia hết cho 24)

Với a = 4: 404 - 1 = 403 (không chia hết cho 24)

Với a = 5: 505 - 1 = 504. Ta thấy 504 / 24 = 21 (thỏa mãn)

Với a = 6, 7, 8, 9: Các giá trị tương ứng là 605, 706, 807, 908 đều không chia hết cho 24.

Vậy chỉ có duy nhất a = 5 thỏa mãn.

Thay a = 5 vào phương trình ban đầu: 12k(k + 1) = 11 * 504 12k(k + 1) = 5544 k(k + 1) = 462

Ta thấy 462 = 21 * 22, suy ra k = 21 (hoặc k = -22).

Nếu k = 21, ba số lẻ liên tiếp là: 41, 43, 45.

Nếu k = -22, ba số lẻ liên tiếp là: -45, -43, -41.

Thử lại: 41^2 + 43^2 + 45^2 = 1681 + 1849 + 2025 = 5555 (thỏa mãn).

Vậy 3 số lẻ liên tiếp cần tìm là 41, 43, 45 (hoặc -45, -43, -41).

Timi · Answer

Để tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương của chúng là một số có 4 chữ số giống nhau, ta gọi 3 số lẻ liên tiếp là $ x - 2 $, $ x $, và $ x + 2 $ (với $ x $ là một số lẻ).

Tổng bình phương của 3 số này sẽ là:

$$
(x - 2)^2 + x^2 + (x + 2)^2
$$

Bây giờ ta tính toán:

$$
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
$$
$$
x^2 = x^2
$$
$$
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
$$

Cộng các biểu thức này lại:

$$
(x - 2)^2 + x^2 + (x + 2)^2 = (x^2 - 4x + 4) + x^2 + (x^2 + 4x + 4)
$$
$$
= 3x^2 + 8
$$

Chúng ta cần tìm $ 3x^2 + 8 $ bằng một số có 4 chữ số giống nhau. Các số có 4 chữ số giống nhau có dạng $ aaaa $ (với $ a $ là chữ số từ 1 đến 9). Số này có thể được viết là $ 1111a $, trong đó $ a = 1, 2, 3, ..., 9 $.

Vì vậy, ta có phương trình:

$$
3x^2 + 8 = 1111a
$$

Giải phương trình này cho $ x $:

$$
3x^2 = 1111a - 8
$$
$$
x^2 = \frac{1111a - 8}{3}
$$

Để $ x^2 $ là số nguyên, $ 1111a - 8 $ phải chia hết cho 3. Ta xét $ 1111 \mod 3 $:

$$
1111 \div 3 = 370 \quad \text{và dư là } 1
$$

Vậy:

$$
1111 \equiv 1 \mod 3 \quad \Rightarrow \quad 1111a \equiv a \mod 3
$$

Thì:

$$
1111a - 8 \equiv a - 8 \equiv 0 \mod 3
$$
$$
a \equiv 8 \mod 3 \quad \Rightarrow \quad a \equiv 2 \mod 3
$$

Các giá trị của $ a $ từ 1 đến 9 thỏa mãn điều kiện này là $ 2, 5, 8 $.

- Nếu $ a = 2 $:
$$
3x^2 + 8 = 2222 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 2214 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 738 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{738} \text{ (không phải số nguyên)}
$$

- Nếu $ a = 5 $:
$$
3x^2 + 8 = 5555 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 5547 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1849 \quad \Rightarrow \quad x = 43 \text{ (số nguyên)}
$$

- Nếu $ a = 8 $:
$$
3x^2 + 8 = 8888 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 = 8880 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2960 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{2960} \text{ (không phải số nguyên)}
$$

Vậy, giá trị hợp lệ là $ x = 43 $. Các số lẻ liên tiếp là:

$$
x - 2 = 41, \quad x = 43, \quad x + 2 = 45
$$

**Kết luận**: Ba số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau là **41, 43, và 45**.