Cho dãy số49;4489;444889;44448889;...
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh
rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương

Question

Đường Tuyết · Accepted Answer

Xét số thứ n của dãy số, ký hiệu là A_n.

Theo quy luật, số A_n sẽ có n chữ số 4, n-1 chữ số 8 và kết thúc bằng 1 chữ số 9. Ta có thể tách số A_n như sau: A_n = 44...488...89 (n chữ số 4, n-1 chữ số 8, 1 chữ số 9) A_n = 44...400...00 + 88...80 + 9 (n chữ số 4 theo sau bởi n chữ số 0; n-1 chữ số 8 theo sau bởi 1 chữ số 0)

Biểu diễn qua lũy thừa của 10:

Số gồm n chữ số 4 là: 4 * (10^n - 1) / 9

Số gồm n-1 chữ số 8 là: 8 * (10^(n-1) - 1) / 9

Do đó: A_n = [4 * (10^n - 1) / 9] * 10^n + [8 * (10^(n-1) - 1) / 9] * 10 + 9 A_n = [4 * 10^(2n) - 4 * 10^n + 8 * 10^n - 80 + 81] / 9 A_n = [4 * 10^(2n) + 4 * 10^n + 1] / 9

Ta thấy tử số là một hằng đẳng thức đáng nhớ: 4 * 10^(2n) + 4 * 10^n + 1 = (2 * 10^n + 1)^2

Vì vậy: A_n = [ (2 * 10^n + 1) / 3 ]^2

Ta cần chứng minh tổng các chữ số của (2 * 10^n + 1) chia hết cho 3. Số 2 * 10^n + 1 có dạng là 200...01 (gồm một chữ số 2, các chữ số 0 và một chữ số 1). Tổng các chữ số của nó là 2 + 0 + ... + 0 + 1 = 3, chia hết cho 3.

Do đó, (2 * 10^n + 1) / 3 luôn là một số nguyên với mọi n nguyên dương.

Vì A_n bằng bình phương của một số nguyên nên tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng tất cả các số trong dãy số $49; 4489; 444889; 44448889;...$ đều là số chính phương, ta sẽ sử dụng quy tắc thêm số $48$ vào giữa các số của dãy.

1. **Dãy số**:
   - $ a_1 = 49 = 7^2 $
   - $ a_2 = 4489 = 67^2 $
   - $ a_3 = 444889 = 667^2 $
   - $ a_4 = 44448889 = 6667^2 $

2. **Công thức tổng quát**:
   - Nhận thấy rằng mỗi số trong dãy đều có thể được biểu diễn dưới dạng $ a_n = (10^n - 1)/9 + 48 \times (10^{n-1} + 10^{n-2} + ... + 10^0) $.

Cụ thể, nếu $ n $ là chỉ số của số hạng trong dãy, ta có thể nhận thấy rằng số $ a_n $ được tạo ra bằng cách:
   $$
   a_n = 4 \times (10^n - 1)/9 + 9 \times 10^{n-1}
   $$

3. **Chứng minh**:
   - Để chứng minh rằng $ a_n $ là số chính phương, ta sẽ tính các giá trị $ a_n $ và kiểm tra xem nó có thể được viết dưới dạng bình phương của một số nguyên hay không.
   - Thực tế, chúng ta có thể nhận thấy rằng:
     - $ a_2 = 4489 = 67^2 $
     - $ a_3 = 444889 = 667^2 $
     - $ a_4 = 44448889 = 6667^2 $

4. **Kết luận**:
   - Như vậy, ta có thể chứng minh rằng $ a_n $ có dạng là số chính phương với $ n $ là số tự nhiên, và các số chính phương này chính là các số được tạo thành theo quy luật đã nêu trên.
   - Từ đó, ta kết luận rằng tất cả các số trong dãy đều là số chính phương.

**Đáp án**: Tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

Cho dãy số49;4489;444889;44448889;... Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương