Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho các số $n+1,2n+1,5n+1$ đều là các số chính phương.

Question

Giang · Accepted Answer

Giả sử n + 1, 2n + 1, 5n + 1 đều là các số chính phương.

Vì 2n + 1 là số chính phương lẻ nên khi chia cho 8 sẽ dư 1. Suy ra 2n chia hết cho 8, do đó n chia hết cho 4.

Khi n chia hết cho 4 thì n + 1 là số lẻ. Vì n + 1 là số chính phương lẻ nên nó cũng chia 8 dư 1. Suy ra n phải chia hết cho 8.

Do cần tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, ta lần lượt thử các giá trị là bội của 8:

Với n = 8: n + 1 = 9 (là số chính phương), nhưng 2n + 1 = 17 (không thỏa mãn).

Với n = 16: n + 1 = 17 (không thỏa mãn).

Với n = 24: n + 1 = 25 (bằng 5 bình phương) 2n + 1 = 49 (bằng 7 bình phương) 5n + 1 = 121 (bằng 11 bình phương)

Cả ba số đều là số chính phương hợp lệ.

Vậy số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm là 24.

Timi · Answer

Để tìm số nguyên dương nhỏ nhất $ n $ sao cho các số $ n+1, 2n+1, 5n+1 $ đều là các số chính phương, ta sẽ ký hiệu các số chính phương này như sau:

- $ n + 1 = a^2 $ (với $ a $ là một số nguyên dương)
- $ 2n + 1 = b^2 $ (với $ b $ là một số nguyên dương)
- $ 5n + 1 = c^2 $ (với $ c $ là một số nguyên dương)

Từ các phương trình trên, ta có thể biểu diễn $ n $ theo $ a, b, c $:

1. Từ phương trình đầu tiên, ta có:
   $$
   n = a^2 - 1
   $$

2. Thay $ n $ vào phương trình thứ hai:
   $$
   2(a^2 - 1) + 1 = b^2 \implies 2a^2 - 2 + 1 = b^2 \implies 2a^2 - 1 = b^2
   $$
   Ta có phương trình:
   $$
   b^2 - 2a^2 + 1 = 0
   $$

3. Thay $ n $ vào phương trình thứ ba:
   $$
   5(a^2 - 1) + 1 = c^2 \implies 5a^2 - 5 + 1 = c^2 \implies 5a^2 - 4 = c^2
   $$
   Ta có phương trình:
   $$
   c^2 - 5a^2 + 4 = 0
   $$

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hai phương trình:
- $ b^2 = 2a^2 - 1 $
- $ c^2 = 5a^2 - 4 $

Chúng ta cần $ b^2 $ và $ c^2 $ đều là số chính phương.

Từ $ b^2 = 2a^2 - 1 $:
- $ 2a^2 - 1 \geq 0 \implies a^2 \geq \frac{1}{2} \implies a \geq 1 $.

Bắt đầu thử với $ a = 1 $:
$$
b^2 = 2(1^2) - 1 = 1 \implies b = 1
$$
$$
c^2 = 5(1^2) - 4 = 1 \implies c = 1
$$
$$
n = 1^2 - 1 = 0 \quad \text{(không phải số nguyên dương)}
$$

Tiếp theo, thử $ a = 2 $:
$$
b^2 = 2(2^2) - 1 = 7 \quad \text{(không phải số chính phương)}
$$

Tiếp theo, thử $ a = 3 $:
$$
b^2 = 2(3^2) - 1 = 17 \quad \text{(không phải số chính phương)}
$$

Tiếp theo, thử $ a = 4 $:
$$
b^2 = 2(4^2) - 1 = 31 \quad \text{(không phải số chính phương)}
$$

Tiếp theo, thử $ a = 5 $:
$$
b^2 = 2(5^2) - 1 = 49 \implies b = 7
$$
$$
c^2 = 5(5^2) - 4 = 121 \implies c = 11
$$
$$
n = 5^2 - 1 = 24
$$

Cuối cùng, kiểm tra xem $ n = 24 $ có thỏa mãn không:
- $ n + 1 = 25 $ (là chính phương)
- $ 2n + 1 = 49 $ (là chính phương)
- $ 5n + 1 = 121 $ (là chính phương)

Do đó, số nguyên dương nhỏ nhất $ n $ sao cho $ n + 1, 2n + 1, 5n + 1 $ đều là các số chính phương là:

$$
\boxed{24}
$$