Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương

Question

F.A nặng · Accepted Answer

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là ab (với a, b là các chữ số từ 0 đến 9, a khác 0). Số viết theo thứ tự ngược lại là ba (với b khác 0 để đảm bảo hiệu hai bình phương không bị triệt tiêu vô nghĩa, và ba cũng là số có hai chữ số).

Theo đề bài, hiệu các bình phương của hai số này là một số chính phương. Vì vai trò của ab và ba có thể hoán đổi để lấy hiệu dương, ta giả sử a lớn hơn b.

Ta có hiệu các bình phương: H = (ab)^2 - (ba)^2 H = (10a + b)^2 - (10b + a)^2

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: H = [(10a + b) - (10b + a)] * [(10a + b) + (10b + a)] H = (9a - 9b) * (11a + 11b) H = 9 * (a - b) * 11 * (a + b) H = 99 * (a - b) * (a + b) H = 9 * 11 * (a - b) * (a + b)

Để H là một số chính phương thì các thừa số trong tích phải lập thành các bình phương. Vì 9 = 3^2 đã là số chính phương, nên tích còn lại phải là một số chính phương: K = 11 * (a - b) * (a + b) phải là số chính phương.

Do 11 là số nguyên tố, nên để K là số chính phương thì tích (a - b) * (a + b) phải chia hết cho 11. Vì a và b là các chữ số từ 1 đến 9 nên:

Hiệu (a - b) luôn nhỏ hơn 9, không thể chia hết cho 11.

Tổng (a + b) nằm trong khoảng từ 2 đến 18. Do đó, để tích chia hết cho 11 thì bắt buộc (a + b) phải bằng 11.

Thay a + b = 11 vào biểu thức K: K = 11 * (a - b) * 11 = 11^2 * (a - b)

Để K là số chính phương thì hiệu (a - b) phải là một số chính phương. Vì a khác b và a lớn hơn b nên (a - b) có thể nhận các giá trị chính phương là 1, 4, 9.

Trường hợp 1: a - b = 1 Kết hợp với a + b = 11, ta có hệ phương trình: a - b = 1 và a + b = 11 Cộng hai phương trình ta được 2a = 12, suy ra a = 6. Do đó b = 5. Số cần tìm là 65 (hoặc số ngược lại là 56). Thử lại: 65^2 - 56^2 = 4225 - 3136 = 1089 = 33^2 (thỏa mãn).

Trường hợp 2: a - b = 4 Kết hợp với a + b = 11, ta có hệ phương trình: a - b = 4 và a + b = 11 Cộng hai phương trình ta được 2a = 15, suy ra a = 7.5 (loại vì a phải là số nguyên).

Trường hợp 3: a - b = 9 Kết hợp với a + b = 11, ta có hệ phương trình: a - b = 9 và a + b = 11 Cộng hai phương trình ta được 2a = 20, suy ra a = 10 (loại vì a phải là chữ số từ 1 đến 9).

Vậy các số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 65 và 56.

Timi · Answer

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là $ xy $, trong đó $ x $ là chữ số hàng chục và $ y $ là chữ số hàng đơn vị. Ta có thể viết số đó dưới dạng:

$$
N = 10x + y
$$

Số được viết bởi hai chữ số theo thứ tự ngược lại sẽ là $ yx $, có thể viết dưới dạng:

$$
M = 10y + x
$$

Theo đề bài, hiệu của các bình phương của số $ N $ và số $ M $ là một số chính phương. Ta có:

$$
N^2 - M^2 = (N - M)(N + M)
$$

Tính $ N - M $ và $ N + M $:

$$
N - M = (10x + y) - (10y + x) = 9x - 9y = 9(x - y)
$$
$$
N + M = (10x + y) + (10y + x) = 11x + 11y = 11(x + y)
$$

Do đó, ta có:

$$
N^2 - M^2 = (9(x - y))(11(x + y)) = 99(x - y)(x + y)
$$

Theo đề bài, $ 99(x - y)(x + y) $ là một số chính phương. Gọi $ k = (x - y)(x + y) $, ta cần $ 99k $ là một số chính phương.

Do $ 99 = 3^2 \times 11 $, để $ 99k $ là chính phương, $ k $ cần có dạng $ 11m^2 $ với $ m $ là số nguyên.

Do đó, $ k $ có thể được viết dưới dạng:

$$
k = 11m^2
$$

Bây giờ ta sẽ tìm các giá trị cho $ x $ và $ y $:

$$
(x - y)(x + y) = 11m^2
$$

Với $ x $ và $ y $ là các chữ số (0 đến 9), ta có thể thử các giá trị của $ m $ và tìm giá trị của $ x $ và $ y $.

1. Khi $ m = 1 $:
   $$
   k = 11 \quad \Rightarrow \quad (x - y)(x + y) = 11
   $$
   Các cặp có thể: $ (1, 11), (11, 1) $ nhưng không hợp lệ với chữ số.

2. Khi $ m = 2 $:
   $$
   k = 44 \quad \Rightarrow \quad (x - y)(x + y) = 44
   $$
   Các cặp có thể: $ (4, 11), (11, 4) $ nhưng không hợp lệ.

3. Khi $ m = 3 $:
   $$
   k = 99 \quad \Rightarrow \quad (x - y)(x + y) = 99
   $$
   Các cặp có thể: $ (9, 11) $, không hợp lệ.

4. Khi $ m = 0 $:
   $$
   k = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - y)(x + y) = 0
   $$
   Từ đó ta có $ x = y $, điều này không cho phép số có hai chữ số.

Vì vậy, không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện của bài toán. Kết luận rằng không có số tự nhiên nào có hai chữ số mà hiệu các bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.