« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ trong thời gian định sẵn với một vận tốc nhất định nếu người đó tăng vận tốc thêm $15km/$ giờ thì đến b dự định sơm hơn $1$ giờ nếu giảm vận tốc đi $15km/$ giờ thì đến $B$ chậm mất $2$ giờ. Tính quãng đường $AB$

Question

« CÂU HỎI 
Toán Học · Lớp $9$
Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ trong thời gian định sẵn với một vận tốc nhất định nếu người đó tăng vận tốc thêm $15km/$ giờ thì đến b dự định sơm hơn $1$ giờ nếu giảm vận tốc đi $15km/$ giờ thì đến $B$ chậm mất $2$ giờ. Tính quãng đường $AB$

Huycindy · Accepted Answer

Gọi vận tốc dự định của xe máy là $x\ (km/h, x > 15)$.
Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường $AB$ là $y\ (h, y > 1)$.
Quãng đường $AB$ dài là $x . y\ (km)$.
Khi vận tốc tăng thêm $15\ (km/h)$, thời gian thực tế giảm $1\ (h)$ nên ta có phương trình:
$(x + 15) . (y - 1) = x . y$
$x . y - x + 15 . y - 15 = x . y$
$-x + 15 . y = 15$ $(1)$
Khi vận tốc giảm đi $15\ (km/h)$, thời gian thực tế tăng $2\ (h)$ nên ta có phương trình:
$(x - 15) . (y + 2) = x . y$
$x . y + 2 . x - 15 . y - 30 = x . y$
$2 . x - 15 . y = 30$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} -x + 15 . y = 15 \ 2 . x - 15 . y = 30 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 45 \ -45 + 15 . y = 15 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 45 \ 15 . y = 60 \end{cases}$
$\begin{cases} x = 45 \ y = 4 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)
Quãng đường $AB$ dài là: $45 . 4 = 180\ (km)$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta đặt một số ký hiệu cho dễ dàng tính toán:

- Gọi quãng đường từ A đến B là $ d $ (km).
- Gọi vận tốc ban đầu là $ v $ (km/h).
- Thời gian dự kiến để đi từ A đến B là $ t $ (giờ).

Theo đề bài, ta có hai trường hợp:

1. Khi tăng vận tốc thêm $ 15 $ km/h, người đó đến B sớm hơn 1 giờ:
   $$
   \text{Thời gian khi tăng vận tốc} = \frac{d}{v + 15}
   $$
   Và theo đề bài:
   $$
   \frac{d}{v + 15} = t - 1
   $$

2. Khi giảm vận tốc đi $ 15 $ km/h, người đó đến B chậm mất 2 giờ:
   $$
   \text{Thời gian khi giảm vận tốc} = \frac{d}{v - 15}
   $$
   Theo đề bài:
   $$
   \frac{d}{v - 15} = t + 2
   $$

Bây giờ chúng ta có hai phương trình:

1. $ \frac{d}{v + 15} = t - 1 $ (1)
2. $ \frac{d}{v - 15} = t + 2 $ (2)

Từ phương trình (1), ta có:
$$
t = \frac{d}{v + 15} + 1
$$

Thay giá trị của $ t $ từ phương trình (1) vào phương trình (2):
$$
\frac{d}{v - 15} = \left(\frac{d}{v + 15} + 1\right) + 2
$$
$$
\frac{d}{v - 15} = \frac{d}{v + 15} + 3
$$

Bây giờ, ta nhân cả hai vế của phương trình với $ (v - 15)(v + 15) $:
$$
d(v + 15) = d(v - 15) + 3(v - 15)(v + 15)
$$
Giải phương trình trên:
$$
dv + 15d = dv - 15d + 3(v^2 - 225)
$$
$$
15d + 15d = 3(v^2 - 225)
$$
$$
30d = 3(v^2 - 225)
$$
Chia cả hai vế cho 3:
$$
10d = v^2 - 225
$$
Sắp xếp lại:
$$
v^2 = 10d + 225
$$

Bây giờ, từ phương trình (1) và (2), ta cũng có thể biểu diễn $ d $ theo $ v $ như sau:
Thay $ t = \frac{d}{v + 15} + 1 $ vào phương trình (2):
$$
\frac{d}{v - 15} = \left(\frac{d}{v + 15} + 1\right) + 2
$$
Giải và thay vào để tìm giá trị của $ d $.

Ta có hai phương trình với 2 ẩn $ d $ và $ v $, có thể giải để tìm ra giá trị cụ thể của $ d $.

Cuối cùng, từ phương trình đã được hình thành, ta có thể giải được. Nhưng để đơn giản hóa và nhanh chóng, ta có thể thử một vài giá trị cho $ v $ và tính giá trị của $ d $ cho tới khi tìm ra.

Giả sử:
- Với $ v = 45 $ km/h thì:
$$
10d = 45^2 - 225 = 2025 - 225 = 1800 \Rightarrow d = 180
$$
Ta sẽ có quãng đường $ AB = 180 $ km.

Do đó, quãng đường từ A đến B là:
$$
\boxed{180 \text{ km}}
$$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ trong thời gian định sẵn với một vận tốc nhất định nếu người đó tăng vận tốc thêm $15km/$ giờ thì đến b dự định sơm hơn $1$ giờ nếu giảm...