Giúp mình với! Ví dụ 17. Giải phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}$

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

ĐKXĐ:
$\displaystyle \begin{cases} 3x+1 \ge 0 \ 2x-1 \ge 0 \ x-1 \ge 0 \ 4x+1 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -\frac{1}{3} \ x \ge \frac{1}{2} \ x \ge 1 \ x \ge -\frac{1}{4} \end{cases} \Leftrightarrow x \ge 1$
$\displaystyle (\sqrt{3x+1} + \sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{x-1} + \sqrt{4x+1})^2$
$\displaystyle \Leftrightarrow 3x+1 + 2x-1 + 2\sqrt{(3x+1)(2x-1)} = x-1 + 4x+1 + 2\sqrt{(x-1)(4x+1)}$
$\displaystyle \Leftrightarrow 5x + 2\sqrt{6x^2 - x - 1} = 5x + 2\sqrt{4x^2 - 3x - 1}$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2\sqrt{6x^2 - x - 1} = 2\sqrt{4x^2 - 3x - 1}$
$\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{6x^2 - x - 1} = \sqrt{4x^2 - 3x - 1}$
$\displaystyle 6x^2 - x - 1 = 4x^2 - 3x - 1$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2x^2 + 2x = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow 2x(x + 1) = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \ x = -1 \end{array} ight.$

$\displaystyle x = 0$ và $\displaystyle x = -1$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Timi · Answer

Để giải phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}$, chúng ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Xác định điều kiện xác định của các căn**:
   - Từ $\sqrt{3x+1}$: $3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3}$
   - Từ $\sqrt{2x-1}$: $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$
   - Từ $\sqrt{x-1}$: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
   - Từ $\sqrt{4x+1}$: $4x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{4}$

Từ các điều kiện trên, điều kiện mạnh nhất là $x \geq 1$.

2. **Bình phương hai vế của phương trình**:
   $$
   \left(\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x-1}\right)^2 = \left(\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}\right)^2
   $$
   Thực hiện khai triển:
   $$
   (3x+1) + (2x-1) + 2\sqrt{(3x+1)(2x-1)} = (x-1) + (4x+1) + 2\sqrt{(x-1)(4x+1)}
   $$
   $$
   5x + 0 + 2\sqrt{(3x+1)(2x-1)} = 5x + 0 + 2\sqrt{(x-1)(4x+1)}
   $$

3. **Rút gọn**:
   $$
   2\sqrt{(3x+1)(2x-1)} = 2\sqrt{(x-1)(4x+1)}
   $$
   Chia cả hai vế cho 2:
   $$
   \sqrt{(3x+1)(2x-1)} = \sqrt{(x-1)(4x+1)}
   $$

4. **Bình phương lại**:
   $$
   (3x+1)(2x-1) = (x-1)(4x+1)
   $$
   Khai triển cả hai vế:
   $$
   6x^2 - 3x + 2x - 1 = 4x^2 + x - 4x - 1
   $$
   $$
   6x^2 - x - 1 = 4x^2 - 3x - 1
   $$
   Đưa về một phía:
   $$
   6x^2 - x - 1 - 4x^2 + 3x + 1 = 0
   $$
   $$
   2x^2 + 2x = 0
   $$

5. **Giải phương trình bậc 2**:
   $$
   2x(x + 1) = 0
   $$
   Từ đó ta có hai nghiệm:
   $$
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -1
   $$

6. **Kiểm tra điều kiện**:
   - $x = 0$ không thoả mãn $x \geq 1$.
   - $x = -1$ không thoả mãn $x \geq 1$.

Như vậy, phương trình $\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}$ không có nghiệm nào thoả mãn điều kiện xác định.

**Kết luận**: Phương trình vô nghiệm.