Giúp mình với! Ví dụ 19. Giải phương trình $\sqrt{3-x}-2\sqrt x=\sqrt{7x-1}-2\sqrt{1-x}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$\sqrt{3-x}-2\sqrt{x}=\sqrt{7x-1}-2\sqrt{1-x}\quad\left(\dfrac{1}{7} \leq x \leq 1\right)$
$\sqrt{3-x} + 2\sqrt{1-x} = \sqrt{7x-1} + 2\sqrt{x}$
$\left(\sqrt{3-x} + 2\sqrt{1-x}\right)^2 = \left(\sqrt{7x-1} + 2\sqrt{x}\right)^2$
$3-x + 4(1-x) + 4\sqrt{(3-x)(1-x)} = 7x-1 + 4x + 4\sqrt{x(7x-1)}$
$7 - 5x + 4\sqrt{x^2-4x+3} = 11x - 1 + 4\sqrt{7x^2-x}$
$8 - 16x + 4\sqrt{x^2-4x+3} = 4\sqrt{7x^2-x}$
$2 - 4x + \sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{7x^2-x}$
$\sqrt{x^2-4x+3} - \sqrt{7x^2-x} = 4x - 2$
$\dfrac{x^2-4x+3 - \left(7x^2-x\right)}{\sqrt{x^2-4x+3} + \sqrt{7x^2-x}} = 4x - 2$
$\dfrac{-6x^2-3x+3}{\sqrt{x^2-4x+3} + \sqrt{7x^2-x}} = 4x - 2$
$\dfrac{-3(2x-1)(x+1)}{\sqrt{x^2-4x+3} + \sqrt{7x^2-x}} - 2(2x-1) = 0$
$(2x-1)\left(\dfrac{-3(x+1)}{\sqrt{x^2-4x+3} + \sqrt{7x^2-x}} - 2\right) = 0$
Vì điều kiện xác định của phương trình là $\dfrac{1}{7} \leq x \leq 1$ nên biểu thức trong ngoặc luôn âm. Do đó:
$2x - 1 = 0$
$x = \dfrac{1}{2}$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{1}{2}$.

Timi · Answer

Để giải phương trình $\sqrt{3-x}-2\sqrt{x}=\sqrt{7x-1}-2\sqrt{1-x}$, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định miền giá trị**: 
   - Từ $\sqrt{3-x}$ ta có $3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$.
   - Từ $\sqrt{x}$ ta có $x \geq 0$.
   - Từ $\sqrt{7x-1}$ ta có $7x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{7}$.
   - Từ $\sqrt{1-x}$ ta có $1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$.

Kết hợp các điều kiện trên, ta có:
   $$
   \frac{1}{7} \leq x \leq 1.
   $$

2. **Bình phương hai vế**: 
   Để loại bỏ các căn bậc hai, ta sẽ bình phương cả hai vế:
   $$
   (\sqrt{3-x} - 2\sqrt{x})^2 = (\sqrt{7x-1} - 2\sqrt{1-x})^2.
   $$

Tính toán vế trái:
   $$
   3 - x - 4\sqrt{x}\sqrt{3-x} + 4x = 3 + 3x - 4\sqrt{x}\sqrt{3-x}.
   $$

Tính toán vế phải:
   $$
   7x - 1 - 4\sqrt{(7x-1)(1-x)} + 4(1-x) = 7x - 1 + 4 - 4x - 4\sqrt{(7x-1)(1-x)}.
   $$

Ta có phương trình:
   $$
   3 + 3x - 4\sqrt{x}\sqrt{3-x} = 3x + 3 - 4\sqrt{(7x-1)(1-x)}.
   $$

3. **Rút gọn và tìm nghiệm**: 
   Sau khi rút gọn, ta có:
   $$
   -4\sqrt{x}\sqrt{3-x} = -4\sqrt{(7x-1)(1-x)}.
   $$

Chia hai vế cho $-4$ (với điều kiện $-4 \neq 0$):
   $$
   \sqrt{x}\sqrt{3-x} = \sqrt{(7x-1)(1-x)}.
   $$

4. **Bình phương lại**:
   Bình phương lại cả hai vế:
   $$
   x(3-x) = (7x-1)(1-x).
   $$

Tính toán vế trái:
   $$
   3x - x^2.
   $$

Tính toán vế phải:
   $$
   7x - 7x^2 - 1 + x = 6x - 7x^2 - 1.
   $$

Thiết lập phương trình:
   $$
   3x - x^2 = 6x - 7x^2 - 1.
   $$

Chuyển tất cả về một vế:
   $$
   6x - 7x^2 - 1 - 3x + x^2 = 0 \Rightarrow 6x - 3x - 1 + 6x^2 = 0 \Rightarrow 6x^2 - 3x + 1 = 0.
   $$

5. **Giải phương trình bậc 2**:
   Sử dụng công thức nghiệm:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24}}{12} = \frac{3 \pm \sqrt{-15}}{12}.
   $$

Phương trình này không có nghiệm thực, do $\sqrt{-15}$ không có giá trị thực.

6. **Kết luận**:
   Phương trình $\sqrt{3-x}-2\sqrt{x}=\sqrt{7x-1}-2\sqrt{1-x}$ không có nghiệm thực trong miền xác định đã tìm được.

Vậy, không có nghiệm cho phương trình này.