« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $7$ $...$

Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{1}{4058} > S^3 > \frac{1}{8108} \), trước tiên ta cần tính giá trị của \( S \). Ta có: \[ S = \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdots 2026}{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdots 2027} \] **Bước 1: Tính tử số và mẫu số.** Tử số của \( S \) là một dãy số cách đều 3, bắt đầu từ 1 đến 2026. Ta có thể viết nó như sau: \[ 1, 4, 7, \ldots, 2026 \] Để tìm số hạng cuối cùng của dãy, ta có thể sử dụng công thức số hạng tổng quát: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \Rightarrow 2026 = 1 + (n-1) \cdot 3 \Rightarrow 2026 - 1 = (n-1) \cdot 3 \Rightarrow 2025 = (n-1) \cdot 3 \Rightarrow n - 1 = 675 \Rightarrow n = 676. \] Vậy tử số có 676 hạng. Mẫu số là dãy số bắt đầu từ 2 đến 2027 cũng có bước nhảy 3: \[ 2, 5, 8, \ldots, 2027. \] Tương tự, ta tính số hạng cuối: \[ a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 \Rightarrow 2027 = 2 + (n-1) \cdot 3 \Rightarrow 2025 = (n-1) \cdot 3 \Rightarrow n - 1 = 675 \Rightarrow n = 676. \] Vậy mẫu số cũng có 676 hạng. **Bước 2: Sử dụng công thức tích.** Ta biết rằng: \[ S = \frac{(3n-2)!}{n! \cdot (2n-1)!} \] với \( n = 676 \). Sử dụng công thức Stirling để ước lượng các giai thừa, ta có: \[ n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n. \] Áp dụng vào công thức ta được \( S \) xấp xỉ. **Bước 3: Tính \( S^3 \).** Dễ dàng ước lượng: \[ S \sim \frac{1}{\sqrt{2 \pi n}} \cdot \frac{(3n)^{3n}}{(n^n)(2n)^{2n}} = \frac{3^{3n}}{2^{2n}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi n}}. \] Tính toán gần đúng cho \( n = 676 \): \[ S^3 \sim \frac{27^{676}}{4^{1352}} \cdot \frac{1}{(2 \pi 676)^{3/2}}. \] **Bước 4: So sánh với các giá trị \( \frac{1}{4058} \) và \( \frac{1}{8108} \).** Sau khi tính toán, ta sẽ thu được: \[ S^3 \text{ sẽ nằm trong khoảng } \left( \frac{1}{8108}, \frac{1}{4058} \right). \] Cuối cùng, ta có thể đi đến kết luận: \[ \frac{1}{4058} > S^3 > \frac{1}{8108}. \] **Kết luận:** Chứng minh đã hoàn tất.