« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $7$
$...$ a) Cho p và $p+4$ là các số nguyên tố $(p3).$ Chứng minh rằng: $p+8$ là hợp số.,b) Cho p và $2p+1$ là các số nguyên tố $(p3).$ Chứng minh rằng: $4p+1$ là hợp số.,c) Cho p và $10p+1$ là các số nguyên tố $(p3).$ Chứng minh rằng: $5p+1$ là hợp số.

Question

« CÂU HỎI 
Toán Học · Lớp $7$ 
$...$ a) Cho p và $p+4$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng: $p+8$ là hợp số.,b) Cho p và $2p+1$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng: $4p+1$ là hợp số.,c) Cho p và $10p+1$ là các số nguyên tố $(p>3).$ Chứng minh rằng: $5p+1$ là hợp số.

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Vì $p$ là số nguyên tố và $p > 3$ nên $p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$
Trường hợp $p = 3k + 2$
$p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) \quad (l)$
Trường hợp $p = 3k + 1$
$p + 4 = 3k + 1 + 4 = 3k + 5 \quad (n)$
$p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3)$
Vì $p + 8 > 3$ và $p + 8 \;\vdots\; 3$ nên $p + 8$ là hợp số
$b)$ Vì $p$ là số nguyên tố và $p > 3$ nên $p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$
Trường hợp $p = 3k + 1$
$2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k + 1) \quad (l)$
Trường hợp $p = 3k + 2$
$2p + 1 = 2(3k + 2) + 1 = 6k + 5 \quad (n)$
$4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 = 3(4k + 3)$
Vì $4p + 1 > 3$ và $4p + 1 \;\vdots\; 3$ nên $4p + 1$ là hợp số
$c)$ Vì $p$ là số nguyên tố và $p > 3$ nên $p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k + 2 \quad (k \in \mathbb{N}^*)$
Trường hợp $p = 3k + 2$
$10p + 1 = 10(3k + 2) + 1 = 30k + 21 = 3(10k + 7) \quad (l)$
Trường hợp $p = 3k + 1$
$10p + 1 = 10(3k + 1) + 1 = 30k + 11 \quad (n)$
$5p + 1 = 5(3k + 1) + 1 = 15k + 6 = 3(5k + 2)$
Vì $5p + 1 > 3$ và $5p + 1 \;\vdots\; 3$ nên $5p + 1$ là hợp số

Timi · Answer

a) Để chứng minh rằng $ p + 8 $ là hợp số, ta có thể xem xét tính chẵn lẻ của $ p $ và $ p + 4 $.

Vì $ p $ và $ p + 4 $ đều là số nguyên tố lớn hơn 3, nên cả hai số này đều phải là số lẻ (vì số nguyên tố duy nhất chẵn là 2). Do đó, $ p $ là số lẻ, và ta có:

$$
p \equiv 1 \, \text{hoặc} \, p \equiv 3 \, (\text{mod} \, 4)
$$

- Nếu $ p \equiv 1 \, (\text{mod} \, 4) $:
$$
p + 8 \equiv 1 + 0 \equiv 1 \, (\text{mod} \, 4)
$$
- Nếu $ p \equiv 3 \, (\text{mod} \, 4) $:
$$
p + 8 \equiv 3 + 0 \equiv 3 \, (\text{mod} \, 4)
$$

Tuy nhiên, trong cả hai trường hợp, $ p + 8 $ sẽ là số chia hết cho 2 (vì số này là số chẵn), nên $ p + 8 $ không thể là số nguyên tố. Do đó, $ p + 8 $ là hợp số.

**Kết luận:** $ p + 8 $ là hợp số.

b) Chứng minh rằng $ 4p + 1 $ là hợp số khi $ p $ và $ 2p + 1 $ là số nguyên tố.

Giả sử $ p > 3 $ là số nguyên tố, thì $ 2p + 1 $ cũng là số lẻ. Ta xét $ p $ là số nguyên tố và có thể viết như sau:

Nếu $ p \equiv 1 \, (\text{mod} \, 3) $ thì:
$$
2p + 1 \equiv 2 \cdot 1 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 3)
$$
Điều này có nghĩa là $ 2p + 1 $ không phải là số nguyên tố, vì nó chia hết cho 3.

Nếu $ p \equiv 2 \, (\text{mod} \, 3) $:
$$
4p + 1 \equiv 4 \cdot 2 + 1 \equiv 8 + 1 \equiv 9 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 3)
$$
Như vậy, $ 4p + 1 $ chia hết cho 3, nên nó là hợp số.

**Kết luận:** $ 4p + 1 $ là hợp số.

c) Chứng minh rằng $ 5p + 1 $ là hợp số khi $ p $ và $ 10p + 1 $ là số nguyên tố.

Ta có $ 10p + 1 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 11) $. Nếu $ p \equiv 0 \, (\text{mod} \, 11) $, điều này không thể xảy ra vì $ p $ là số nguyên tố và lớn hơn 3. Ta cần xét các trường hợp khác nhau:

- Nếu $ p \equiv 1 \, (\text{mod} \, 11) $:
$$
10p + 1 \equiv 10 \cdot 1 + 1 \equiv 11 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 11)
$$
- Nếu $ p \equiv 2 \, (\text{mod} \, 11) $:
$$
10p + 1 \equiv 10 \cdot 2 + 1 \equiv 21 \equiv 10 \, (\text{mod} \, 11)
$$
Tiếp tục cho các giá trị $ p $ cho đến 10, ta nhận thấy rằng $ 5p + 1 $ chia hết cho 5.

**Kết luận:** $ 5p + 1 $ là hợp số.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng:
- $ p + 8 $ là hợp số.
- $ 4p + 1 $ là hợp số.
- $ 5p + 1 $ là hợp số.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $7$ $...$